Buongiorno, non so perché ma mi sto facendo moltissime domande sulla definizione di primitiva, e sto cercando di capire il perché debba essere derivabile, se non lo fosse ad esempio |x| la sua derivata non avrebbe come primitiva |x| poiché non è definita in x=0. Ma è questa la vera spiegazione ?
1030
punti
Livello 2
Il dubbio che hai è proprio uno di quelli che fanno capire se si è veramente compreso un concetto o se lo si dà per scontato.
Partiamo dalla definizione di primitiva. Si dice che F(x) è una primitiva di f(x) in un intervallo se F′(x)=f(x) per ogni x di quell'intervallo.
Ecco il punto chiave: per poter dire che F′(x)=f(x), F(x) deve essere derivabile in tutti i punti dell'intervallo. Se in un punto F(x) non fosse derivabile, l'uguaglianza F′(x)=f(x) in quel punto non avrebbe nemmeno significato: non possiamo confrontare due cose se una delle due non esiste.
Ora, facciamo l'esempio che hai portato:f(x)=∣x∣. Perché non è la primitiva di nessuna funzione su tutto R?
Per vedere di chi potrebbe essere primitiva, dovremmo derivarla. La derivata di ∣x∣ è:
+1 per x>0; −1 per x<0
Non è definita in x=0.
Quindi, se dicessimo che ∣x∣ è una primitiva di una funzione g(x), quest'ultima dovrebbe valere:
g(x)=1 per x>0 g(x)=−1 per x<0
E in x=0? Quanto dovrebbe valere g(0)? Dalla definizione di primitiva, dovrebbe essere g(0)=∣x∣′ calcolata in 0, ma quella derivata non esiste. Quindi non possiamo definire g(0) in modo che sia la derivata di ∣x∣ in 0.
Potremmo definire g(0) con un valore a piacere, diciamo 0, ma quella g(x) non sarebbe la derivata di ∣x∣ in 0, perché in 0 ∣x∣ non è derivabile. La relazione F′=f fallirebbe proprio nel punto fondamentale dove abbiamo "bucato" la definizione.
Quindi, la tua intuizione è giustissima: la spiegazione è proprio che se la "candidata primitiva" non è derivabile in un punto, lì non può esistere una funzione che sia la sua derivata in quel punto, e quindi la relazione F′=f non vale su tutto l'intervallo.
Per questo si dice che le primitive vanno cercate tra le funzioni derivabili (in tutti i punti dell'intervallo considerato). Il teorema fondamentale del calcolo integrale, poi, ci assicura che se f è continua in un intervallo, le sue primitive non solo esistono, ma sono addirittura derivabili con derivata uguale a f. Quindi la richiesta di derivabilità nella definizione è essenziale per la coerenza della teoria.
Spero di averti chiarito le idee!
16247
punti
Livello 8
Buongiorno, non so perché ma mi sto facendo moltissime domande sulla definizione di primitiva, e sto cercando di capire il perché debba essere derivabile, se non lo fosse ad esempio |x| la sua derivata non avrebbe come primitiva |x| poiché non è definita in x=0. Ma è questa la vera spiegazione ?
.............................................
|x| non è la primitiva ( --> F) di nessuno (SECONDO RIEMANN ... LASCIA STARE WOLFRAM**)!!!
l'integrale indefinito (SECONDO RIEMANN) va suddiviso in due integrali...
FINO A ZERO (-OO,0] DOVE LA F è - x
e da zero in poi [0,oo) dove la F è x ... come ti ha detto Gregorius
https://it.wikipedia.org/wiki/Primitiva_(matematica)
https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_Riemann
https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale
.............................................................
**
wolframalpha mette la d/dx ... ma non è il limite del rapporto incrementale "classico" per ogni x del dominio
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fondamentale_del_calcolo_integrale
7583
punti
Livello 5
