[Risolto] Quesito funzione

dalla traccia segue che

sinx*dy/dx = y*cosx

occorre distinguere due casi:

1. se y = 0 allora l'equazione è verificata. y = 0 è una soluzione.
2. se y ≠ 0 allora possiamo dividere per y.

Ci siamo così ricondotti ad una equazione a variabili separabili.

• Separiamo le variabili

dy/y = cosx/sinx dx

• Integriamo ambo i membri

∫ dy/y = ∫ cosx/sinx dx

ln|y| = ln|sinx| + c;  con c∈ℝ

• Esplicitiamo la funzione y(x)

e^ln|y| = e^(ln|sinx| + c)

|y| = e^c * |sinx|

Poniamo e^c := k

|y| = k * |sinx| con k numero reale positivo, k∈ℝ⁺

Includiamo la soluzione nulla accettando k=0

|y| = k * |sinx| con k∈[0,+∞)

Eliminiamo i moduli

y = k * (±sinx); con k∈[0,+∞)

y = ±k * sinx ; con k∈[0,+∞)

quindi ±k può assumere tutti i valori reali, poniamo c₁:=±k con c₁∈ℝ

La soluzione generale dell'equazione è quindi

y(x) = c₁*sinx; con c₁∈ℝ

Verifica.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sinx*y%27%3Dcosx*y

@xeno

Ciao e benvenuto

dy/dx·SIN(x) = y·COS(x)

1/y*dy=COS(x)/SIN(x)*dx

Integrando indefinitamente:

LN(y) +LN(C1) è quello che si ottiene a primo membro (LN(C1) = costante di integrazione, C1>0)

LN(SIN(x)) + LN(C2)  è quello che si ottiene al secondo membro ( come sopra C2>0)

Quindi deve essere:

LN(y) +LN(C1)=LN(SIN(x)) + LN(C2)

LN(C1*y)=LN(C2*SIN(x))

Quindi:C1*y=C2*SIN(x)--------> y=C*SIN(x) con C= costante positiva

DUE AIUTI
-----------------------------
Uno molto importante, anche se tu non l'hai chiesto: la parola "soddisfi" fu inventata da un burocrate ignorante che scriveva una circolare ministeriale; nell'italiano delle persone che hanno frequentato un buon liceo il verbo "soddisfare" mantiene la sua struttura anche nella coniugazione ("satis facio = faccio quanto basta"), quindi "soddisfaccia alla condizione richiesta.".
IL COMPLEMENTO OGGETTO E' IL "quanto" INCORPORATO, NON "la condizione" ALL'ESTERNO.
-----------------------------
L'altro meno importante, ed è quello che hai chiesto: tradurre la descrizione in narrativa scrivendo l'equazione differenziale descritta (" è tale che ... e cos x"); poi scrivere la soluzione generale ("Ricava ogni possibile funzione che ...").
---------------
"la sua derivata prima, moltiplicata per sin x, " ≡ sin(x)*y'
"è uguale al prodotto tra la funzione stessa e cos x" ≡ = cos(x)*y
quindi
* sin(x)*y' = cos(x)*y ≡
≡ y'/y = cos(x)/sin(x) ≡
≡ (dy/dx)/y = cot(x) ≡
≡ dy/y = cot(x)*dx ≡
≡ y = f(x) = C*sin(x)