[Risolto] Esercizio vaso iperbolico

@susi

Ciao

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 per semplicità la trasformo in x^2/α - y^2/β = 1

Quindi impongo i passaggi dell'iperbole per i punti: (10, 20)  e (9.5, 17)

dedotti dalla figura. Quindi:

{10^2/α - 20^2/β = 1

{9.5^2/α - 17^2/β = 1

risolvo per sostituzione:β = 400·α/(100 - α), quindi

9.5^2/α - 17^2/(400·α/(100 - α)) = 1

(289·α + 7200)/(400·α) = 1

289·α + 7200 = 400·α

α = 2400/37

L'altro parametro non mi interessa perché è richiesto 2a=x

a^2 = 2400/37------->a = - 20·√222/37 ∨ a = 20·√222/37

x = 2·20·√222/37------>  x = 16.1 cm 

All'autore della figura di quest'esercizio si dovrebbe revocare l'abilitazione all'insegnamento per aver violato la regola base della matematica che i matematici hanno impiegato secoli per consolidare: «Per ciascun segno un solo significato, per ciascun significato un solo segno distinto da ogni altro».
Usare il nome "x" sia per la variabile x ascissa del riferimento cartesiano disegnato che per "il diametro minimo x" è un OBBROBRIO, quel libro non dovrebb'essere adottabile! Oltre che matematico l'obbrobrio è pure linguistico: nemmeno in un talk show su TeleCocumola si userebbe lo stesso appellativo per due persone diverse.
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Il grafico sovrapposto al particolare ingrandito mostra che l'iperbole è riferita ai propri assi, con asse focale x, quindi con equazione
* (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
e pertanto è ovvio che il minimo diametro del vaso è la misura dell'asse trasverso: il doppio del semiasse sull'asse focale.
Non sarebbe costato nulla scrivere "il diametro minimo 2*a".
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Dalle misure quotate del grafico si leggono i seguenti vincoli sui parametri, in centimetri.
* ((20/2)/a)^2 - (20/b)^2 = 1
* ((19/2)/a)^2 - ((20 - 3)/b)^2 = 1
il cui sistema
* (((20/2)/a)^2 - (20/b)^2 = 1) & (((19/2)/a)^2 - ((20 - 3)/b)^2 = 1) ≡
≡ ((a^2)*b^2 + 400*a^2 - 100*b^2 = 0) & (4*(a^2)*b^2 + 1156*a^2 - 361*b^2 = 0)
essendo di quarto grado, dà luogo algebricamente a quattro soluzioni
* (a, b) in {(± 20*√(6/37), ± 40*√(6/13))}
Aggiungendo i vincoli imposti dalla condizione che (a, b) sono distanze si ha
* ((a, b) in {(± 20*√(6/37), ± 40*√(6/13))}) & (a > 0) & (b > 0) ≡
≡ (a, b) = (20*√(6/37), 40*√(6/13))
da cui gli assi della conica
* (2*a, 2*b) = (40*√(6/37), 80*√(6/13)) ~= (16.1077, 54.3493) cm
e si può ben dire che 16.1077 è "circa 16".