[Risolto] Quesito ellisse terzo superiore

Lo svolgo prima con il Teorema di Carnot; successivamente cercherò un metodo accessibile ad una terza.

Il triangolo PF1F2 ha lati x, 2c = a e 2a - x per definizione di ellisse, per cui detto f l'angolo tra PF1 e PF2,

a^2 = x^2 + (2a - x)^2 - 2x (2a - x) cos f

2x(2a - x) cos f = x^2 + x^2 - 4ax + 4a^2 - a^2

2x(2a - x) cos f = 2x^2 - 4ax + 3a^2

cos f = (2x^2 - 4ax + 3a^2)/(4ax - 2x^2) = -1 + 3a^2/(-2x^2 + 4ax).

Ora la frazione a destra assume valore estremo (minimo) quando

-2x^2 + 4ax = max

ovvero se x = -B/(2A) = -4a/(-4) = a

In questo caso

 

cos f = -1 + 3a^2/(4a^2 - 2a^2) = -1 + 3/2 = 1/2

e poiché il coseno é decrescente nel primo quadrante

cos f >= 1/2

significa f <= arc cos* (1/2)

f <= 60°.

 

Note preliminari
1) Ti clicko un cuoricino di gratitudine per aver scritto "terzo superiore" nel titolo.
2) Non puoi dare "un qualunque ellisse" perché i nomi delle coniche sono femminili (iperbole, parabola, ellisse, circonferenza).
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Esercizio
Una qualunque ellisse non degenere, essendo qualunque, si può in ogni caso (con un'opportuna rototraslazione) riportare alla forma normale standard riferita ai proprî assi coi fuochi sull'asse x
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
con semiassi
* a > b > 0
e semidistanza focale
* c = √(a^2 - b^2)
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La condizione "distanza focale pari al semiasse maggiore" impone il vincolo
* (2*√(a^2 - b^2) = a) & (a > b > 0) ≡ a = (2/√3)*b = b/sin(60°)
da cui
* Γ ≡ (x/((2/√3)*b))^2 + (y/b)^2 = 1 ≡
≡ 3*x^2 + 4*y^2 - 4*b^2 = 0
con fuochi
* F(± b/√3, 0)
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L'angolo F1PF2 è massimo per P(0, b) posizione in cui il triangolo F1PF2 è equilatero.
QED