[Risolto] Quesito di matematica

Ciao @paky_03_

Per il teorema delle radici razionali, se un polinomio ha coefficienti interi allora le sue radici razionali sono della forma $p/q$ dove $p$ è un divisore del termine noto e $q$ un divisore del coefficiente del termine di grado massimo.

Nel nostro caso le eventuali radici razionali di $x^2+mx+n$, dato che il termine di grado massimo ha coefficiente 1, saranno i divisori di $n$.

In particolare un trinomio che abbia due soluzioni razionali si deve poter scomporre come:

$(x+a)(x+b)$

dove 

$ n = a \cdot b$

$ m = a + b$

Poiché $n$ è dispari, $a$ e $b$ devono essere entrambi dispari (se uno dei due fosse pari, il prodotto sarebbe pari).

Ma la somma di due numeri dispari (a+b) è sempre un numero pari, dunque non può essere pari a $m$ che è anch'esso dispari.

Dunque le radici non possono essere razionali.

Noemi

Calcoli il discriminante:

=m^2-4n

deve essere o nullo oppure un quadrato.

Se ciò non è possibile per numeri interi m ed n dispari, allora le radici non sono rappresentate da numeri razionali. Vedi tu.

Hai visto? 
Siccome m ed n sono dispari, il discriminante non può che essere dispari perché differenza fra numero dispari e pari.

Quindi non può essere nullo visto che 0 è pari.

Scriviamo quindi come ultima possibilità:

(2k+1)^2=m^2-4n con k intero

adesso continua tu…

Continuo io...

4·k^2 + 4·k + 1 = m^2 - 4·n

4·k^2 + 4·k + 4·n = m^2 - 1

4·(k·(k + 1) + n) = (m + 1)·(m - 1)

Al primo membro hai:

k·(k + 1) che è pari...poi--->+n hai k·(k + 1) + n =DISPARI

Quindi al primo membro hai un numero divisibile per 4

Mentre al secondo membro hai il prodotto di due numeri pari consecutivi, Quindi un multiplo di 8.

Ciò rende l'uguaglianza segnata in grassetto sopra IMPOSSIBILE