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[Risolto] Quesito di matematica

  

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Sia a appartenente a R compreso nell’intervallo [0,1]; provare che per ogni coppia x,y appartenenti a R+ vale:

|x^a - y^a| <= |x-y|^a

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Potresti ragionare nel modo seguente. Poiché se a = 0 oppure a = 1 vale l'uguaglianza

possiamo limitarci al caso in cui é 0 < a < 1. 

Essendo la funzione x^a crescente possiamo supporre che x sia il maggiore e possiamo 

chiamare xo il numero reale y > 0

 

Dovremo quindi dimostrare che risulta 

d(x) = x^a - xo^a - (x - xo)^a  <= 0   per ogni x >= xo.

Derivando, troviamo 

a x^(a-1) - 0 - a (x - xo)^(a-1) >= 0   per la condizione di crescenza

ed essendo a positivo per ipotesi 

 

x^(a-1) >= (x - xo)^(a -1) 

 

poiché é anche a - 1 < 0

x^(-(1-a)) >= (x - xo)^(-(1-a))

1/(x^(1-a)) >= 1/(x - xo)^(1-a))    con 1 - a > 0

e passando ai reciproci la diseguaglianza s'inverte 

x^(1-a) <= (x - xo)^(1-a) 

e con 1 - a positivo ciò ci conduce a    x <= x - xo 

che equivarrebbe a xo <= 0 contro l'ipotesi che vuole xo = y > 0.

Pertanto per x >= xo 

d(x) é sempre decrescente e valendo 0 in xo é sempre negativa per x > xo 

 

Da qui segue a ritroso   x^a - xo^a <= (x - xo)^a 

e con le convenzioni stabilite   | x^a - y^a | <= |x - y|^a.




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