[Risolto] quesito di matematica

Si tratta di trovare le soluzioni dell'equazione seguente per x∈[0, 2π]

a. C.E.

L'equazione è definita, nell'intervallo dato, per:

1. x ≠ 0
2. x ≠ π/2
3. x ≠ π
4. x ≠ 3π/2
5. x ≠ 2π

b. Risolviamo l'equazione

$ \frac {cot(\frac{x}{2})}{cosx} - \frac{1}{sin(2x)} = 0 $

$ \frac {sin(2x) \cdot cot(\frac{x}{2}) - cosx }{cosx \cdot sin(2x)}  = 0 $

sappiamo che $ cot(\frac{x}{2}) = \frac{sinx}{1-cosx} $ per cui

$ \frac {sin(2x) \cdot \frac{sinx}{1-cosx} - cosx }{cosx \cdot sin(2x)}  = 0 $

Semplifichiamo il cosx, sappiamo che è diverso da zero per il C.E.

$ \frac {2sinx \cdot \frac{sinx}{1-cosx} - 1 }{sin(2x)}  = 0 $

$ \frac {2sin^2x + cosx -1 }{(1-cosx) sin(2x)}  = 0 $

$ \frac {-2cos^2x + cosx +1 }{(1-cosx) sin(2x)}  = 0 $   (1)

L'equazione è verificata quando il numeratore risulta nullo

$  2cos^2x - cosx -1 = 0 $

Le cui soluzioni sono:

1. x = 0; da scartare per via del C.E.
2. x = -2π/3 = 4π/3
3. x =  2π/3

Verifica.

https://www.wolframalpha.com/input?i=+cot%28x%2F2%29+%2Fcosx+-+1%2Fsin%282x%29+%3D+0

c. La seconda domanda significa studiare il segno della funzione.

Accenno alla griglia dei segni, occorre dettagliarla con i punti dove non è definita la funzione.

Notiamo che per le x appartenenti al C.E. il termine (1-cosx) è positivo, quindi ininfluente nel segno.

0____π/2__2π/3____π____4π/3_____3π/2____2π 

+++++++++0----------------0++++++++++++   numeratore della (1)

++++X---------------X++++++++++++X---------   sin(2x)

++++X--------0+++X---------0++++++X---------    f(x)

Io proverei con le formule parametriche 

cotg(x/2) = 1/t.

Solo che in questo momento sono in spiaggia e non posso farlo materialmente.