[Risolto] Quesito di analisi

$ y(x) = \frac{ln|x|}{x-2} $

a. Dominio.

• $  ln|x| \; ⇒ \; x \ne 0$
• $ /(x-2) \; ⇒ \; x \ne 2$

Dominio = ℝ\{0, 2}

• • La funzione è continua e derivabile laddove definita, essendo un rapporto, di composizione di funzioni continue e derivabili.
  • Vi sono due punti di discontinuità x = 0 ∧ x = 2

b. 

i) intersezione con gli assi coordinati.

• Asse delle x.  L'equazione dell'asse delle ascisse è y = 0. L'intersezione è data dalle soluzioni del sistema

$ \begin{cases} y = \frac{ln|x|}{x-2} \\ y = 0 \end{cases} $

$ ln|x| = 0$   Due soluzioni

1. $x_1 = -1 $
2. $x_2 = 1 $

• Asse delle y.  L'equazione dell'asse delle ascisse è x = 0. L'intersezione è data dalle soluzioni del sistema

$ \begin{cases} y = \frac{ln|x|}{x-2} \\ x = 0 \end{cases} $

Il sistema non è definito visto che x = 0 non è un punto del Dominio.

ii) Asintoti

• Verticali.
  • x = 0 
    • $ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ln|x|}{x-2} = +\infty$
    • Siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x = 0
  • x = 2
    • $ \displaystyle\lim_{x \to 2^-} \frac{ln|x|}{x-2} = -\infty$
    • $ \displaystyle\lim_{x \to 2^+} \frac{ln|x|}{x-2} = +\infty$
    • Siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x = 2
• Orizzontali
  • $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{ln|x|}{x-2} = 0 $
  • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{ln|x|}{x-2} = 0 $
    • Siamo in presenza di un asintoto orizzontale di equazione y = 0

c. Limiti. Per determinare gli asintoti siamo stati costretti a sviluppare i limiti.  

d.  Segno della funzione.

Usiamo la griglia dei segni. Abbiamo già ricavato gli zeri e i punti di discontinuità della funzione.

______-1______0______1_______2_______

+++++0--------X---------0++++++++++++   ln|x|

----------------------------------------X++++++   x-2

--------0+++++X++++0-----------X++++++   y(x)

Regioni del piano dove giace il grafico

• nell'intervallo (-∞, -1) il grafico è negativo
• per x = -1 la funzione si annulla
• nell'intervallo (-1, 0) il grafico è positivo
• nell'intervallo (0, 1) il grafico è positivo
• per x = 1 la funzione si annulla
• nell'intervallo (1, 2) il grafico è negativo
• nell'intervallo (2, +∞) il grafico è positivo