Buongiorno, qualcuno mi può aiutare a risolvere questo quesito? Dovrebbe risultare un numero intero. grazie
Sia f(x,y)=x^4+2xy+2y^2 definita in R^2. Siano P1 e P2 gli unici punti di minimo di f, calcolare la quantità
4^4 * (f(P1)+f(P2))/2
Buongiorno, qualcuno mi può aiutare a risolvere questo quesito? Dovrebbe risultare un numero intero. grazie
Sia f(x,y)=x^4+2xy+2y^2 definita in R^2. Siano P1 e P2 gli unici punti di minimo di f, calcolare la quantità
4^4 * (f(P1)+f(P2))/2
Per prima cosa devi trovare i due punti di minimo annullando il gradiente di $f(x)$, ovverro annullando le due derivate parziali di $f(x)$ rispetto a $x$ e $y$:
$\frac{\partial f}{\partial x}=0$
$\frac{\partial f}{\partial y}=0$
Quindi
$\frac{\partial f}{\partial x}=4x^3+2y=0$
$\frac{\partial f}{\partial y}=2x+4y=0$
quindi ti rimane:
$y=-2x^3$ e
$x=-2y$
sostituendo ottieni
$y=16y^3$ cioè $y(16y^2-1)=0$
Le soluzioni sono
$y_1=-\frac{1}{4}$
$y_2=\frac{1}{4}$
$y_3=0$
a queste $y$ corrispondono:
$x_1=\frac{1}{2}$
$x_2=-\frac{1}{2}$
$x_3=0$
e quindi i punti stazionari $P_1=(\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$, $P_2=(-\frac{1}{2},\frac{1}{4})$ e $P_3=(0,0)$
Se calcoli adesso si trova che:
$f(P_1)=-\frac{1}{16}$
$f(P_2)=-\frac{1}{16}$
$f(P_3)=0$
Quindi i punti di minimo sono $P_1$ e $P_2$
pertanto l'espressione da calcolare
$4^4\frac{f(P_1)+f(P_2)}{2}=256(-\frac{1}{16})=-16$