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[Risolto] Quesito di analisi matematica 2

  

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Buongiorno, qualcuno mi può aiutare a risolvere questo quesito? Dovrebbe risultare un numero intero. grazie

 

Sia f(x,y)=x^4+2xy+2y^2 definita in R^2. Siano P1 e P2 gli unici punti di minimo di f, calcolare la quantità 

4^4 * (f(P1)+f(P2))/2

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Per prima cosa devi trovare i due punti di minimo annullando il gradiente di $f(x)$, ovverro annullando le due derivate parziali di $f(x)$ rispetto a $x$ e $y$:

$\frac{\partial f}{\partial x}=0$  

$\frac{\partial f}{\partial y}=0$

Quindi

$\frac{\partial f}{\partial x}=4x^3+2y=0$   

$\frac{\partial f}{\partial y}=2x+4y=0$   

quindi ti rimane:

$y=-2x^3$ e

$x=-2y$

sostituendo ottieni

$y=16y^3$ cioè $y(16y^2-1)=0$

Le soluzioni sono

$y_1=-\frac{1}{4}$

$y_2=\frac{1}{4}$

$y_3=0$

a queste $y$ corrispondono:

$x_1=\frac{1}{2}$

$x_2=-\frac{1}{2}$

$x_3=0$

e quindi i punti stazionari $P_1=(\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$, $P_2=(-\frac{1}{2},\frac{1}{4})$ e $P_3=(0,0)$

Se calcoli adesso si trova che:

$f(P_1)=-\frac{1}{16}$

$f(P_2)=-\frac{1}{16}$

$f(P_3)=0$

Quindi i punti di minimo sono $P_1$ e $P_2$

pertanto l'espressione da calcolare

$4^4\frac{f(P_1)+f(P_2)}{2}=256(-\frac{1}{16})=-16$

image



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