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[Risolto] circuitazione e flusso

  

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Qualcuno mi può aiutare?

si consideri il campo vettoriale in R^2 definito da F(x,y)=(x^3+3x^2y,y^3 -3y^2x).

Sia A la porzione del cerchio centrato nell'origine e di raggio 3 contenuto nel primo quadrante. indicata con J la circuitazione di F lungo la frontiera di A orientata positivamente, calcolare:

8J/pigreco

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@giulia1234 Se stai studiando Analisi 2 significa che stai affrontando un'Università scientifica (Matematica, Fisica o Ingegneria). Detto questo, ti consiglio di non farti risolvere i problemi, ma di provare da te ed eventualmente postare la tua soluzione oppure una domanda precisa su dove ti sei bloccata. Non puoi non avere alcuna idea di come affrontare il problema, altrimenti vuol dire che non sei ancora attrezzata per il "problem solving" che ti troverai ad affrontare in futuro. l'esercizio che ti ho risolto poco fa sui massimi e minimi di una funzione di 2 variabili era banalissimo, e io analisi 2 l'ho data 25 anni fa. 

@giulia1234 idem 🤣 🤣 

@giulia1234

Sono d'accordo con gli utenti che hanno scritto sopra. Comincia prima a postare quello che hai fatto, anche se è sbagliato. Poi daremo un suggerimento e in via estrema lo svolgiamo tutto. Il risultato è - 243 ?

2 Risposte



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Scrivo qui una possibile soluzione.

 

Per il Teorema di Stokes puoi calcolare la circuitazione J come flusso di rot F attraverso la superficie racchiusa dalla linea indicata. Probabilmente, grazie alla forma della superficie, che è piatta, e alla possibilità di tradurre quello che ne scaturisce in coordinate polari, il calcolo è più semplice

 

rot F = det ( [ i j k; d/dx d/dy d/dz; x^3 + 3x^2 y, y^3 - 3x y^2, 0] ) =

= ( - 3x^2 - 3y^2) k = - 3 (x^2 + y^2) k

La normale alla superficie è semplicemente in = k

Inoltre   dS = r dr dteta in coordinate polari del piano e

{ 0 <= r <= 3

{ 0 <= teta <= pi/2    ( primo quadrante )

 

Così

rot F * in dS = - 3 (x^2 + y^2) k * k r dr dteta = - 3 r^2 * r dr dteta = - 3 r^3 dr dteta

e quindi

J =  S_[0,pi/2]  S_[0,3]  - 3 r^3 dr dteta = - 3 S_[0, pi/2]  d teta  S_[0,3] r^3 dr =

= - 3 * pi/2 * 1/4 [r^4]_[0,3] = - 3/8 pi * 81

 

pertanto   8J/pi = 8 *(-3/8 pi) * 81/pi = - 3*81 = - 243.

 

Potresti compiere un buon esercizio verificando lo svolgimento con l'integrale curvilineo.

 



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Come potete vedere sono nuova, non ho idea di come funzioni questo forum, pensavo di poter chiedervi la soluzione per poi confrontarla con quella che ho fatto io, la prossima volta sarò più chiara. 

 

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