Scrivo qui una possibile soluzione.
Per il Teorema di Stokes puoi calcolare la circuitazione J come flusso di rot F attraverso la superficie racchiusa dalla linea indicata. Probabilmente, grazie alla forma della superficie, che è piatta, e alla possibilità di tradurre quello che ne scaturisce in coordinate polari, il calcolo è più semplice
rot F = det ( [ i j k; d/dx d/dy d/dz; x^3 + 3x^2 y, y^3 - 3x y^2, 0] ) =
= ( - 3x^2 - 3y^2) k = - 3 (x^2 + y^2) k
La normale alla superficie è semplicemente in = k
Inoltre dS = r dr dteta in coordinate polari del piano e
{ 0 <= r <= 3
{ 0 <= teta <= pi/2 ( primo quadrante )
rot F * in dS = - 3 (x^2 + y^2) k * k r dr dteta = - 3 r^2 * r dr dteta = - 3 r^3 dr dteta
e quindi
J = S_[0,pi/2] S_[0,3] - 3 r^3 dr dteta = - 3 S_[0, pi/2] d teta S_[0,3] r^3 dr =
= - 3 * pi/2 * 1/4 [r^4]_[0,3] = - 3/8 pi * 81
pertanto 8J/pi = 8 *(-3/8 pi) * 81/pi = - 3*81 = - 243.
Potresti compiere un buon esercizio verificando lo svolgimento con l'integrale curvilineo.