Quesito, calcolo differenziale.

Teorema di Rolle:

Se una funzione $f(x)$ continua in un intervallo $[a,b]$ e derivabile in un intervallo $(a,b)$ tale che $f(a)=f(b)$, allora esiste almeno un punto di ascissa $c \in (a,b)$ per cui $f'(c)=0$.

La premessa del teorema impone che per l'applicazione siano soddisfatti 3 requisiti:

1. La funzione $f(x)$ è continua per ogni $x \in [a,b]$;
2. La funzione $f(x)$ è derivabile per ogni $x \in (a,b)$;
3. $a$ e $b$ sono tali che $f(a) = f(b)$.

Per verificare la necessità della 1. basta considerare $f(x)=\begin{cases} x^2\ se \ x \leq -1 \\ x^2 \ se \ x \geq 1 \end{cases}$. La funzione in questo caso non è continua in nessun punto di ascissa $-1<x_1<1$, e non ha tangenti orizzontali, perché $f'(x) = 2x= 0 \implies x=0$, ma poiché la funzione non è definita in $x=0$, questa non ha tangenti orizzontali.

Per verificare la necessità della 2. si consideri invece $f(x)=|x| = \begin{cases} x \ se \ x \geq 0 \\ -x \ se\ x < 0 \end{cases}$. In questo caso la funzione è continua in $\mathbb{R}$, e considerando l'intervallo $[-1,1]$ (quindi si verifica la 1.) vediamo che si verifica anche la 3., però la funzione non è derivabile in  $x=0$ a causa di un punto angoloso, infatti il teorema non vale in questo caso.

Verifichiamo infine la necessità della 3.:

Si consideri $f(x)=x^2$ nell'intervallo $[1,2]$. Chiaramente si verificano la 1. e la 2. dato che $f'(x)=2x$, però $2x=0 \implies x=0$ che non è nell'intervallo, ma lo sarebbe stato se ad esempio avessimo considerato $[1,1]$ o $[2,2]$.