Quesito, calcolo differenziale

$ f(x) = \begin{cases} x^3 \qquad \text{ se  0 ≤ x ≤ 1} \\ x^2-kx+k \quad \text{ se  1 < x ≤ 2} \end{cases} $

i) f(x) è definita in [0, 2]

ii) f(x) è continua in [0,2]. Infatti:

1. I due tratti sono funzioni continue
2. Nel punto di raccordo x = 1 la funzione è continua. Verifica

$ f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$
$ \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1-k+k = 1$

La funzione è continua ∀k∈[0, 2]

iii) f(x) è derivabile in (0,2). Infatti:

$ f'(x) = \begin{cases} 3x^2 \qquad \text{ se  0 ≤ x ≤ 1} \\ 2x-k \quad \text{ se  1 < x ≤ 2} \end{cases} $

1. I due tratti sono funzioni razionali intere quindi derivabili 
2. Nel punto di raccordo x = 1 la funzione è derivabile. Verifichiamo la derivate laterali

$ D^- f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f'(x) = 3$
$ D^+ f(1) =\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2-k $

per k = -1 le due derivate laterali risultano equali quindi la funzione è derivabile.

La funzione è derivabile in (0, 2) per k = -1 

iv) Ricerca del punto c.

f(2) = 4+2-1 = 5
f(0) = 0

$ \frac{f(2)-f(0)}{2} = f'(c) $
$ \frac{5}{2} = f'(c) $

due casi:

1. Se c∈[0, 1] allora  $ \frac{5}{2} = 3c^2 \; \implies \; c = +\sqrt{\frac{5}{6}} $. Il c negativo è da scartare.
2. Se c ∈(1, 2] allora $ \frac{5}{2} = 2c+1 \; \implies \; c = \frac{3}{4} $ da scartare essendo, in questo caso,  c < 1.