Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
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Livello 2
$f(x) = arccos(\frac{1}{\sqrt{x}}; f(x):[1, +∞) \to \mathbb{R} $
$g(x) = arctan(\sqrt{x-1}; g(x):[1, +∞) \to \mathbb{R} $
dimostrare che $ ψ(x) = f(x) - g(x) = 0 \quad \forall x \in (1, +∞) $
Deriviamo la funzione ψ(x)
$ ψ'(x) = \frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}\sqrt{\frac{x-1}{x}}} - \frac{1}{2x\sqrt{x-1}} = \frac{1}{2x\sqrt{x} \sqrt{\frac{x-1}{x}}} - \frac{1}{2x\sqrt{x-1}} = 0$
Esiste un teorema che afferma che se la derivata di una funzione è nulla in un intervallo allora le due funzioni differiscono per una costante.
$ ψ'(x) = 0 \; \implies \; f(x) - g(x) = k \quad \forall x \in (1, +∞) $
Per valutare k scegliamo un punto x₀ del Dominio e calcoliamo ψ(x₀) questo è il valore di k
Scegliamo x₀ = 4
$k = ψ(x₀) = f(x₀) - g(x₀) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 0$
Conclusione. $ f(x) - g(x) = 0 \quad \forall x \in (1, +∞) $
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Livello 6