[Risolto] Quesito 5 simulazione maturità 2023 Zanichelli

(2·t + 2)^2 + (t - 1)^2 + (t + 1)^2 = r^2

(4·t^2 + 8·t + 4) + (t^2 - 2·t + 1) + (t^2 + 2·t + 1) - r^2 = 0

6·t^2 + 8·t - r^2 + 6 = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza fra retta e sfera con centro in O

4^2 - 6·(6 - r^2) = 0

6·r^2 - 20 = 0-----> r^2=10/3

Equazione sfera: x^2+y^2+z^2=10/3

r = d = √30/3 distanza di P dall'origine

Determino quindi P

6·t^2 + 8·t - 10/3 + 6 = 0

6·t^2 + 8·t + 8/3 = 0-----> (6·t^2 + 8·t + 8/3 = 0)·3

2·(9·t^2 + 12·t + 4) = 0----> 9·t^2 + 12·t + 4 = 0

(3·t + 2)^2 = 0-----> t = - 2/3

{x = 2·(- 2/3) + 2 = 2/3

{y = - 2/3 - 1 = - 5/3

{z = - 2/3 + 1 = 1/3

P(2/3,-5/3,1/3)

Il piano ha equazione:

2·x + y + z + d = 0

2·(2/3) + (- 5/3) + 1/3 + d = 0----> d = 0

2·x + y + z = 0

 

Prima parte

d^2 = x^2 + y^2 + z^2 = (2t + 2)^2 + (t - 1)^2 + (t + 1)^2 =

= 4t^2 + 8t + 4 + t^2 - 2t + 1 + t^2 + 2t + 1 =

= 6t^2 + 8t + 6 

il punto più basso di questa funzione parabolica é il vertice

t* = -8/12 = -2/3

e il punto P ha coordinate

xP = -4/3 + 2 = 2/3

yP = -2/3 - 1 = -5/3

zP = -2/3 + 1 = 1/3

 

Seconda parte

Essendo poi vr = (2 1 1)

i piani perpendicolari ad r sono quelli per cui np = (2,1,1)

ovvero  2x + y + z + d = 0

 

Imponendo il passaggio per P

 

2*2/3 + (-5/3) + 1/3 + d = 0

d = 0

 

il piano richiesto ha equazione 2x + y + z = 0

 

Poiché il punto appartiene alla retta, la distanza che vogliamo minimizzare è:

d(t) = (xP-0)² + (yP-0)² + (zP-0)²

 

Quindi:

d(t) = (2t+2)²+(t-1)²+(t+1)²

d(t) = 6t²+8t+6

La distanza risulta minima per t= - 2/3 (ascissa del vertice della parabola) 

Quindi:

P=(2/3;  - 5/3 ;  1/3)

 

Vettore direzione della retta v_r= (2,1,1)

Essendo il piano perpendicolare alla retta avrà equazione 

2*x + 1*y + 1*z + d=0

Imponendo la condizione di appartenenza del punto al piano determino il valore del parametro d.

4/3 - 5/3 + 1/3 + d=0 => d=0

 

Il piano ha equazione 

2x+y+z=0

La distanza d(P) di un punto P dall'origine è il modulo del suo raggio vettore: la diagonale di un parallelepipedo retto che ha le coordinate di P come spigoli.
Per il cursore R della retta r
* R(2*t + 2, t − 1, t + 1)
si ha
* d(R) = √(2*(3*t^2 + 4*t + 3))
minima nel vertice della parabola
* y = 3*t^2 + 4*t + 3 ≡ y = 3*(t + 2/3)^2 + 5/3
cioè per t = - 2/3; quindi il punto che si trova alla distanza minima è
* P(2/3, - 5/3, 1/3)
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r ha coefficienti direttori (2, - 1, 1) quindi il fascio dei suoi piani ortogonali ha per equazione l'eguaglianza fra il parametro k del fascio e il prodotto scalare fra il vettore dei direttori e quello delle variabili
* α(k) ≡ (2, - 1, 1).(x, y, z) = k
dove k si determina dal vincolo d'appartenenza di P
* (2, - 1, 1).(2/3, - 5/3, 1/3) = k ≡ k = 10/3
da cui
* α(10/3) ≡ (2, - 1, 1).(x, y, z) = 10/3 ≡
≡ 2*x - y + z = 10/3