QUESITI SULLE DEIRVATE

Per trovare l'equazione della retta $t$ tangente alla curva $f(x)$ nel punto $P(x_p,f(x_p))$ occorre prima derivare $f(x)= \sqrt{x} \implies f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}}$, ricordiamo che la tangente alla curva $f(x)$ nel punto $P$ passa per $P$ e ha coefficiente angolare $f'(x_p)$, quindi imponiamo queste condizioni:
$y-f(x_p)=f'(x_p)(x-x_p)$

$y-\sqrt{x_p}=\frac{1}{2\sqrt{x_p}}x - \frac{1}{2\sqrt{x_p}}x_p$

$y=\frac{1}{2\sqrt{x_p}}x - \frac{1}{2\sqrt{x_p}}x_p + \sqrt{x_p}$

La normale alla curva passante per $P$ ha coefficiente angolare reciproco e opposto rispetto alla tangente (per definizione di normale), quindi imponiamo la condizione:
$y-\sqrt{x_p}=-2\sqrt{x_p}x+2\sqrt{x_p}x_p$

$y=-2\sqrt{x_p}x+2\sqrt{x_p}x_p+\sqrt{x_p}$

Il triangolo $AOC$ è rettangolo perché gli assi sono perpendicolari per costruzione, allora la sua area è $\frac{1}{2} \overline{OA} \cdot \overline{OC}$, quindi esprimiamo le lunghezze dei segmenti in funzione di $x_p$:

Dal grafico si vede che $y_B=0$ quindi è il punto di intersezione della tangente con l'asse $y$, allora sostituiamo $y=0$ nell'equazione della tangente:

$\frac{1}{2\sqrt{x_p}}x_B -\frac{1}{2\sqrt{x_p}}x_p + \sqrt{x_p}=0$

$x_B=(\frac{1}{2\sqrt{x_p}}x_p-\sqrt{x_p})2\sqrt{x_p}=-x_p$

D'altra parte $y_A=0$, quindi $A$ è il punto di intersezione fra la normale e l'asse $x$, allora sostituiamo $y=0$:

$0=-2\sqrt{x_p}x+2\sqrt{x_p}x_p+\sqrt{x_p}$

$2\sqrt{x_p}x_A=2\sqrt{x_p}x_p+\sqrt{x_p}$

$x_A=x_p+\frac{1}{2}$.

Infine $C$ è il punto di intersezione fra la normale e l'asse $y$, quindi poniamo $x=0$ questa volta e sostituiamo:

$y_C=2\sqrt{x_p}x_p+\sqrt{x_p}=\sqrt{x_p}(2x_p+1)$.

Possiamo calcolare la lunghezza $\overline{OC}$ come $\overline{OC} =y_C=\sqrt{x_p}(2x_p+1)$ dato che $C$ appartiene all'asse $y$ come $O$ ci basta sottrarre le ordinate, però $O=(0,0)$, quindi $\overline{OC}=y_C$, analogamente calcoliamo $\overline{OA}=x_A=x_p+\frac{1}{2}$, quindi l'area di $AOC$ è $A_{AOC}=\frac{1}{2}\sqrt{x_p}(2x_p+1)(x_p+\frac{1}{2})$.

Calcoliamo ora $\overline{AB}$ come distanza fra i due punti $A$ e $B$, quindi:
$\overline{AB} = |x_p+\frac{1}{2}+x_p|=2x_p+\frac{1}{2}$ (il valore assoluto è disutile, perché $x_p \geq 0$ perché altrimenti non apparterrebbe al dominio di $f(x)$. L'altezza relativa alla base $\overline{AB}$ è la distanza di $P$ dall'asse $x$ che è perpendicolare allo stesso asse e quindi è dunque la sua coordinata $y=\sqrt{x_p}$, allora $A_{APB}=\frac{1}{2}(2x_p+\frac{1}{2})\sqrt{x_p}$.

Adesso poniamo $\frac{A_{AOC}}{A_{APB}}=\frac{4}{3}$:

$\frac{\frac{1}{2}\sqrt{x_p}(2x_p+1)(x_p+\frac{1}{2})}{\frac{1}{2}(2x_p+\frac{1}{2})\sqrt{x_p}}=\frac{4}{3}$

$3(2x_p+1)(x_p+\frac{1}{2})=4(2x_p+\frac{1}{2}9$

Che poi si riduce a $12x_p^2-4x_p-1=0$, $x_p=\frac{4 \pm 8}{24}$, possiamo accettare solo la soluzione $x_p=\frac{1}{2}$, perché altrimenti $x_p <0$ che non è ammesso nel dominio della funzione.