PROBLEMA DI FISICA SULLE DERIVATE

$\textbf{a.}$

Per definizione di $\vec{s}(t)$, le sue componenti sono $x(t), y(t)$, allora la velocità $\vec{v}(t)=\vec{s}'(t)$ ha componenti $(x'(t), y'(t))$, perché scomponiamo il moto in uno parallelo all'asse $x$ e uno parallelo all'asse $y$ e combiniamo le corrispettive velocità quindi:

$x(t)=t^2+6t+3 \implies x'(t) = 2t+6$, $y(t)=t^2+3t+2 \implies y'(t)=2t+3$ per la regola del prodotto.

Il modulo della velocità è $v(t)=\sqrt{(2t+6)^2+(2t+3)^2}=\sqrt{8t^2+36t+45}$

$\textbf{b.}$

Per calcolare le componenti dell'accelerazione dobbiamo ricordare che questa è la velocità di variazione della velocità, quindi è la derivata della velocità, allora calcoliamo la derivata seconda di $x(t), y(t)$:

$x''(t)=(x'(t))'=2 = y''(t)$, quindi l'accelerazione ha componenti $(2m/s^2, 2m/s^2)$, che rendono il suo modulo $a=2\sqrt{2}m/s^2$.

$\textbf{c.}$

L'angolo che la velocità forma con l'asse dell'ascisse è $\alpha(t)=\arctan(\frac{y'(t)}{x'(t)})=\arctan(\frac{2t+3}{2t+6})$ che con la regola della catena puoi facilmente derivare come $\alpha '(t)=\frac{6}{8t^2+36t+45}$.