quesiti matematici

n. 5 

se a = 0 é un'identità (indeterminata)

1 = 1/|-1|

 

se a é diverso da 0, posto ax - 1 = u 

- u = 1/|u| 

deve essere u < 0 perché 1/|u| é positivo e allora -u > 0 

Così  - u = 1/(-u)

u^2 = 1

u = - 1

ax - 1 = -1

ax = 0

se a =/= 0

 

x = 0/a = 0  

 

n. 6 

 

per assurdo 

D = m^2 - 4n  = intero

Se ci fosse qualche radice razionale sarebbe m^2 - 4n = q^2

ovvero 4n = m^2 - q^2

n = m + q

4 = m - q

e sommando    n + 4 = 2m =>  n = 2m - 4 = 2(m-2)

 

contro l'ipotesi che n é dispari.

 

QUESITO #5
L'equazione
* 1 - a*x = 1/(|a*x - 1|)
è definita per a*x != 1, nel qual caso equivale a
* (1 - a*x)*(|1 - a*x|) = 1
che, con u = 1 - a*x, assume la forma
* (u*|u| = 1) & (u != 0) ≡
≡ u = 1
da cui
≡ (a = 0) oppure (x = 0)
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Al variare del parametro reale a
* Per a = 0, ogni valore di x soddisfà all'equazione.
* Per a != 0, solo x = 0 soddisfà all'equazione.
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QUESITO #6
L'equazione
* p(x) = x^2 + m*x + n = (x + m)*x + n = 0
con (m, n) in Z, se ha radici razionali (essendo p(x) monico) le deve avere fra i divisori di n. Di tali divisori, ai fini dell'esercizio, interessa solo la parità.
Se n è dispari può avere solo divisori dispari.
Con k intero non nullo e q quoto dispari fra n e il divisore (2*k + 1) si ha
* p(2*k + 1) = (2*k + 1 + m)*(2*k + 1) + q*(2*k + 1) = 0 ≡
≡ m = - (2*k + q + 1)
cioè per avere radici razionali con n dispari occorrerebbe m pari, contro l'ipotesi.
QED