[Risolto] Qualcuno mi sa aiutare con questo problema di analisi 1?

@giacomopintus3456

Ciao. Utilizziamo le derivate per calcolare il polinomio di Mac Laurin (e non di Taylor!) di COS(θ) perché richiede lo sviluppo in un intorno di θ = 0. A tal fine prendiamo in considerazione un polinomio del tipo:

P(x)=a + b·θ + c·θ^2 + d·θ^3 + e·θ^4 + f·θ^5 + g·θ^6 + h·θ^7

y = COS(θ)

θ = 0 il coseno =1 ed il seno=0

P(0)=a

y = COS(0) =1--------> a=1

P(θ)=1 + b·θ + c·θ^2 + d·θ^3 + e·θ^4 + f·θ^5 + g·θ^6 + h·θ^7

y'=SIN(θ)

P'=7·h·θ^6 + 6·g·θ^5 + 5·f·θ^4 + 4·e·θ^3 + 3·d·θ^2 + 2·c·θ + b

P'(0)=b

SIN(0) =0

Quindi b=0

Così facendo ci accorgiamo che dobbiamo considerare solo le derivate di ordine pari in quanto quelle dispari contengono il SENO. Quindi P(x) deve essere del tipo:

P(θ)=1+cθ^2+eθ^4+gθ^6

P''=30·g·θ^4 + 12·e·θ^2 + 2·c 

(COS(θ))'' = - COS(θ)------=-1

2·c = -1    quindi c=-1/2

Procedendo in questo modo si ottiene:

- θ^6/720 + θ^4/24 - θ^2/2 + 1

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(- θ^6/720 + θ^4/24 - θ^2/2 + 1)^2 =

= θ^12/518400 - θ^10/8640 + θ^8/320 - 2·θ^6/45 + θ^4/3 - θ^2 + 1

Quindi i termini superiori al 6° grado li trascuriamo, ottenendo:

- 2·θ^6/45 + θ^4/3 - θ^2 + 1

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Il polinomio di Mac Laurin di COS(2·θ) è:

- (2·θ)^6/720 + (2·θ)^4/24 - (2·θ)^2/2 + 1 =

=- 4·θ^6/45 + 2·θ^4/3 - 2·θ^2 + 1

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Verifica che

COS(θ)^2 = (1 + COS(2·θ))/2

la puoi fare anche tu....

Vabbuò la faccio io..

1° MEMBRO=- 2·θ^6/45 + θ^4/3 - θ^2 + 1

2° MEMBRO= (1 + (- 4·θ^6/45 + 2·θ^4/3 - 2·θ^2 + 1))/2 =

=- (2·θ^6 - 15·θ^4 + 45·θ^2 - 45)/45 =

=- 2·θ^6/45 + θ^4/3 - θ^2 + 1

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Se ti dò l'impressione di scrivere troppo ... beh, è vero!
Nonostante la chiarezza dell'italiano, lo scopo dell'esercizio non m'è chiaro; così metto giù tutto quello che mi passa per la mente: tu scarta il superfluo.
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COSENO
* cos(t) = Σ [k = 0, ∞] ((- 1)^k)*t^(2*k)/(2*k)! =
= 1 - t^2/2 + t^4/24 - t^6/720 + O(t^8)
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COSEN QUADRO
* cos^2(t) = 1 + Σ [k = 1, ∞] ((- 1)^k)*(2^(2*k - 1))*t^(2*k)/(2*k)! =
= 1 - t^2 + t^4/3 + O(t^5) =
= 1 - t^2 + t^4/3 - (2/45)*t^6 + t^8/315 + O(t^9)
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* (1 - t^2/2 + t^4/24 - t^6/720)^2 =
= 1 - t^2 + t^4/3 - (2/45)*t^6 + t^8/320 - t^10/8640 + t^12/518400 =
= 1 - t^2 + t^4/3 - (2/45)*t^6 + O(t^8)
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COSENO D'ARGOMENTO DOPPIO
* cos(2*t) = Σ [k = 0, ∞] ((- 4)^k)*t^(2*k)/(2*k)! =
= 1 - 2*t^2 + (2/3)*t^4 - (4/45)*t^6 + O(t^8)
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* cos(x) = Σ [k = 0, ∞] ((- 1)^k)*x^(2*k)/(2*k)! =
= 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + O(x^8)
per x = 2*t
* cos((2*t)) = Σ [k = 0, ∞] ((- 1)^k)*(2*t)^(2*k)/(2*k)! =
= 1 - (2*t)^2/2 + (2*t)^4/24 - (2*t)^6/720 + O((2*t)^8) =
= 1 - 2*t^2 + (2/3)*t^4 - (4/45)*t^6 + O(t^8)
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VERIFICA DELL'IDENTITA'
Puoi farla da te, immagino.