[Risolto] Integrale

Scomponi come

 

A/(x-2) + B/(x - 4)

 

Ax - 4A + Bx - 2B = 3x - 4

A + B = 3

-4A - 2B = - 4

ovvero

A + B = 3

-2A - B = -2

 

- A = 1

A = -1

B = 3 - A = 4

 

S (4/(x - 4) - 1/(x - 2)) dx = 4 ln |x - 4| - |x - 2| + C = ln (x-4)^4/|x-2| + C

 

Osserva che:

x^2 - 6·x + 8 = (x - 2)·(x - 4)

Quindi cerchiamo di suddividere la frazione algebrica integranda come somma di :

(3·x - 4)/(x^2 - 6·x + 8)= a/(x - 4) + b/(x - 2) =

Quindi:

=(x·(a + b) - 2·(a + 2·b))/((x - 2)·(x - 4))

Deve essere:

{a + b = 3

{- 2·(a + 2·b) = -4

lo risolvi ed ottieni:

[a = 4 ∧ b = -1]

da cui spezzi l'integrale dato in altri due più semplici ed immediati:

∫(4/(x - 4) + (-1)/(x - 2))dx=4·LN(x - 4) - LN(x - 2) +C

 

* f(x) = (3*x - 4)/(x^2 - 6*x + 8) = 4/(x - 4) - 1/(x - 2)
* ∫ f(x)*dx = 4*∫ dx/(x - 4) - ∫ dx/(x - 2) =
= 4*ln(x - 4) - ln(x - 2) + ln(A)