LEGGI IL GRAFICO Considera il grafico della funzione $f(x)$, simmetrico rispetto alla retta $x=3$, rappresentato in figura. La funzione $f(x)$ è la derivata prima della funzione $g(x)$, definita in $\mathbb{R}$, il cui grafico passa per il punto $C(3 ; 2)$. La funzione $g(x)$ ha come asintoto per $x \rightarrow-\infty$ una retta che passa per il punto $A(-1 ; 3)$. a. Qual è l'equazione dell'asintoto della funzione $g(x)$ per $x \rightarrow-\infty$ ? b. Dimostra che il grafico della funzione $g(x)$ è simmetrico rispetto al punto $C(3 ; 2)$. c. Qual è l'equazione dell'asintoto di $g(x)$ per $x \rightarrow+\infty$ ? d. Traccia un grafico probabile della funzione $g(x)$, dopo aver individuato il massimo e il minimo relativi sapendo che $\int_2^4 f(x) d x=1$. e. Scrivi l'equazione della retta tangente al grafico di $g(x)$ nel suo punto di flesso. [a) $y=-x+2$; c) $y=-x+8$; e) $y=x-1]$
Hai provato a risolverlo? f(x) sembra una campana di gauss traslata verticalmente di 1.
@LucianoP, non è detto che lo sia... la forma ci somiglia, ma non hai elementi per concludere che sia effettivamente lei 🙂
1 Risposta
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Il problema non ti chiede di determinare esplicitamente la funzione g(x) né tantomeno quella di f(x) e in realtà nemmeno ti serve.
Ricorda che f(x) è la derivata di g(x), pertanto quando ci chiede di determinare l'asintoto a $-\infty$ di g, notiamo che anche f presenta l'asintoto $y=-1$. Ricordando che la derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente $m$ e che considerando che g tende asintoticamente ad una retta, il coefficiente dell'asintoto dovrà essere proprio $m=-1$.
Dunque l'asintoto è:
$ y - y_A = m(x-x_A)$
$ y - 3 = -(x+1)$
$ y = -x +2$
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Per dimostrare che g è simmetrica rispetto a C(3,2) (punto per cui g passa, come ci informa la traccia), notiamo che la sua derivata f è simmetrica rispetto all'asse $x=3$, quindi per qualunque punto $x_0$ abbiamo che:
$ f(3+x_0) = f(3-x_0)$
Integrando ambo i membri otteniamo:
$ \int f(3+x_0) dx = \int f(3-x_0) dx$
$ g(3+x_0) = - g(3-x_0) + c$
(attenzione al segno meno davanti al secondo membro: è l'integrale di una funzione composta)
Per trovare la costante $c$, notiamo che scelto $x_0=0$ otteniamo:
$ g(3) = -g(3) + c$
e sapendo che g passa per C(3,2), dunque $g(3)=2$, otteniamo:
$ 2 = -2 + c$
$ c = 4$
Quindi possiamo scrivere che qualunque sia $x_0$ si ha:
$ g(3+x_0) = - g(3-x_0) + 4$ (*)
Ora, dire che una funzione è simmetrica rispetto ad un punto vuol dire che dato P appartenente alla funzione il suo simmetrico rispetto a $C(x_C, y_C)$ è ancora un punto della funzione. Verifichiamo dunque la simmetria rispetto a C(3,2). Preso $P(x_P, y_P)$, il simmetrico è:
$ x_P' = 2x_C - x_P = 6-x_P$
$ g(x_P') = 2y_C - g(x_P) = 4-g(x_P)$
che è esattamente quanto avevamo trovato prima nell'equazione (*). Quindi g è effettivamente simmetrica rispetto a C(3,2).
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Per trovare l'asintoto a $+\infty$ notiamo che l'asintoto dovrà essere il simmetrico rispetto al punto C(3,2) dell'asintoto sinistro $y=-x+2$.
La trasformazione della simmetria rispetto a C è:
{$x = 6-x'$
{$y = 4-y'$
quindi otteniamo la retta:
$ 4-y' = -(6-x') +2$
$ 4-y' = -4 + x'$
$ y' = -x' +8$
che rinominiamo come:
$ y = -x +8$
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Di g possiamo dedurre dal grafico di f che:
- Il dominio è tutto R
- E' simmetrica rispetto al punto C(3,2) e passa per tale punto
- Presenta due asintoti obliqui
- Ha un minimo in x=2 e un massimo in x=4 (sono in punti in cui la derivata prima f è nulla)
- Ha un flesso in x=3 (punto di massimo per f, quindi punto in cui la derivata seconda è nulla)
- Dall'informazione sull'integrale, per il teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo dire che:
$ \int_2^4 f(x) = 1 = g(4) - g(2)$
Ma g(4) e g(2) sono punti simmetrici perché equidistanti da C(3,2), quindi usando sempre l'equazione (*) abbiamo che:
$ g(4) = -g(2) + 4$
da cui:
$ \int_2^4 f(x) = 1 = -g(2) +4 - g(2)$
e ricaviamo dunque:
$2g(2) = 3$
$ g(2) = 3/2$
dunque g passa per i punti P(2, 3/2) e il simmetrico P(4, 5/2).
Il grafico dovrebbe essere qualcosa circa così:
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Il punto di flesso di g, come abbiamo detto, è C(3,2).
Il coefficiente della tangente sarà dunque $f(3) = 1$, possiamo quindi scrivere:
