Punti stazionari - FLessi

a.  La funzione non è crescente, è periodica di periodo 2π. 

Controesempio $ 0 < \frac{3\pi}{4}$  ma y(0) = 0 mentre $ y(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - 1 < 0 $

b.  Punti a tangente orizzontale, ovvero punti a derivata prima nulla.

$ y' = cosx + \frac{1}{cos^2x} = 0 $
$ \frac{cos^3x +1}{cos^2x} = 0$
$ cos^3x +1 = 0$
$ (cosx+1)(cos^2x-cosx+1) = 0 $
$ cosx = -1  \; ⇒ \; x = \pi  \; \lor \; x = 3\pi $

nota: x = 3π < 10 e il coseno è una funzione periodica.

dimostriamo che è un flesso.

$ y' '(x) = 2\frac{tanx}{cos^2x} -sinx $      per cui

$ y' '(\pi) = 2\frac{tan(\pi)}{cos^2(\pi)} -sin(\pi) = 0$

• Se π/2 < x < π allora y" < 0. La funzione y(x) è concava in  (π/2, π)
• Se π < x < 3π/2 allora y" > 0. La funzione y(x) è convessa in  (π, 3π/2)  
  si tratta quindi di un flesso orizzontale

La periodicità ci assicura che anche x = 3π è un flesso orizzontale.

c.  Flessi obliqui.

Eguagliando a zero la derivata seconda ricaviamo
$ y' '(x) = 0$
          $= 2 \frac{sinx}{cos^3x}- sinx$
          $= sinx( \frac{2}{cos^3x}- 1) $
L'equazione sin x = 0 ha tre soluzioni nel Dominio 

1. x = π
2. x = 2π
3. x = 3π

Rimane da prendere in considerazione il punto x = 2π

Verifichiamo che trattasi di un flesso
-) per 3π/2 < x < 2π allora y"(x) < 0; la funzione y(x) è concava
-) per 2π < x < 5π/2 allora y"(x) > 0; la funzione y(x) è convessa
siamo di fronte ad un flesso 

Determiniamo la retta tangente usando la formula generale

$ y = y(x_0) + y'(x_0) (x-x_0) $ nel nostro caso

$ y = y(2π) + y'(2π) (x-2π) $
$ y = 0 + 2(x-2π) $
$ y = 2x-4π $

questo ci dimostra che trattasi di un flesso obliquo.