FIsica, Punti stazionari

• Punto a

Bisogna derivare l'espressione della carica rispetto al tempo, tenendo conto che l'unica variabile è $t$, e le altre sono da considerarsi costanti.

$$q(t) = CV_0 \left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right) = CV_0 - CV_0 e^{-\frac{t}{RC}}$$

Tralasciando le costanti, si tratta di una funzione composta del tipo $e^{f(x)}$ la cui derivata è $f'(x)\cdot e^{f(x)}$. Per noi $f(x) = -\frac{t}{RC} \implies f'(t) = - \frac{1}{RC}$, quindi

$$q'(t) = -CV_0\cdot\left(-\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}\right) = \frac{V_0}{R}e^{-\frac{t}{RC}}.$$

• Punto b

Il problema è la ricerca del minimo di una funzione, quindi si risolve studiando il segno e gli zeri della derivata della corrente. La corrente era $i(t) = q'(t)$, quindi la sua derivata sarà $i'(t) = q''(t)$. Con lo stesso ragionamento di prima:

$$i'(t) = q''(t) = \frac{V_0}{R} \cdot \left(-\frac{1}{RC} e^{-\frac{t}{RC}}\right) = - \frac{V_0}{R^2C} e^{-\frac{t}{RC}}.$$

Si nota che $i'(t)$ è un'esponenziale, dunque sempre positiva, moltiplicata per un fattore $-\frac{V_0}{R^2C}$ sempre negativo. Di conseguenza, $i'(t)$ è sempre negativo e quindi $i(t)$ è decrescente. Il minimo di una funzione decrescente in un intervallo si ottiene all'estremo superiore dell'intervallo: una funzione che diventa sempre e solo più piccola avrà il suo valore minimo alla fine. Sostituendo nell'espressione di $i(t) = \frac{V_0}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$ i valori del testo $R = 120\Omega,\ C = 3,33\times10^{-6}F, \ V_0 = 14,5 V$ e il valore del tempo massimo $t = 3,0 \times 10^{-3}s$ si ottiene $i(t)_\text{min} = 6,6\times 10^{-5}A$.