Punti stazioanri

y = 2x^2 * ln(x);

ln(x) esiste solo per valori positivi di x;

Dominio: x > 0;

derivata prima f'(x) > 0 , funzione crescente; f'(x) < 0, funzione decrescente;

f'(x) = 0, massimo o minimo;

f'(x) = 4x * ln(x) + 2x^2 * 1/x = 4x * ln(x) + 2x;

f'(x) = 2x [2 ln(x) + 1]; dove si annulla?

x = 0; non fa parte del dominio;

2 ln(x) + 1 = 0;

ln(x) = - 1/2;  passiamo all'esponenziale:

e^(ln x) = x;

x = e^(-1/2);

x = 1 /[radice(e)]; (massimo o minimo?)

f'(x) = 2x [2 ln(x) + 1] >0;

2x > 0; x > 0;

2 ln(x) + 1 > 0; x > e^(-1/2); 

f'(x) è positiva per x > e^(-1/2), è negativa per x < e^-1/2

quindi la funzione è crescente dal punto x = e^(-1/2); (prima del punto x  è decrescente);

quindi x = 1 /[radice(e)] è un minimo. (Prima scende e poi sale, la vita è fatta a scale....).

Ciao @alby Sta' bene.

$ y(x) = 2x^2\,lnx $

• Dominio = (0, +∞)
• La funzione è continua e derivabile in tutto il suo Dominio

$y'(x) = 2x(2lnx + 1) $

Punti stazionari. $ y'(x) = 0$

1. x = 0. da scartare 0 è un punto esterno al Dominio
2. $ 2lnx +1 = 0 \; \implies \; lnx = -\frac{1}{2} \; \implies \; x = \frac{1}{\sqrt{e}} $

0_________1/√e__________

0++++++++++++++++++   2x
X--------------0+++++++++    2lnx + 1

X--------------0+++++++++   y'(x)

.......↘.....=.......↗........     y(x)

Al punto stazionario corrisponde un minimo (prima scende poi sale)