Punti singolari

Problema:

Studia gli eventuali punti singolari della seguente funzione:

$f(x)=\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1+|2\sin x -1|^n}$

Soluzione:

Non farti spaventare dal limite e procedi nel modo usuale. In questo caso però conviene osservare preliminarmente che $|2\sin x -1| \in [1,3]$.

Si individua il dominio della funzione trattando $n$ come parametro:

$1+|2\sin x-1|^n≠0 \to +≠-1$, dunque il dominio è tutto il continuo, ossia $\mathbb{R}$.

I punti singolari in questo caso dunque dipendono anche da $n \to +\infty$, quindi bisogna individuare le forme in cui il limite è indeterminato. Come detto in precedenza: $|2\sin x -1| \in [1,3]$. Dunque vi sono problemi nei casi in cui la quantità tra il modulo è pari ad $1$ dato che si avrebbe $1^\infty$. 

Si pone dunque $|2\sin x-1|≠1 \to x ≠\frac{π}{2} +2\mathbb{Z}π, x ≠\mathbb{Z}π$. 

Studiando il limite destro e sinistro per entrambi i valori trovati è possibile individuare la tipologia di singolarità.

In $x=\frac{π}{2}$ si ha una discontinuità eliminabile dato che destro e sinistro coincidono ma la funzione non è "definita" in esso.

In $x=π$ si hanno punti di salto.