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Punti di non derivabilità

  

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Buongiorno, mi stavo domandando il motivo per cui per stabilire un punto di non derivabilità come ad esempio un punto angoloso sia necessario che i limiti destro e sinistro per x che tende al punto angoloso della derivata prima della funzione a cui appartiene quel punto, debbano essere diversi. Io mi chiedo a livello proprio di ragionamento come si giunge a ciò. Ci ho pensato: da quello che ho recepito si va a “vedere” il comportamento del coefficiente angolare della retta tangente man mano che ci si avvicina di più a quel punto angoloso. Qualcuno saprebbe spiegarmelo in un modo migliore e rigoroso per tutte le tipologie di punti angolosi, magari anche tramite esempi e/o grafici? Grazie mille in anticipo.

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hai fatto un buon ragionamento. Il coefficiente angolare della retta tangente è la derivata prima della funzione.

 

@mg ottimi schemi 🙂

@rebc  meglio i tuoi. Mi manca il salto...



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La tua deduzione è corretta, se ti è più comodo puoi immaginare la situazione in termini fisici vedendo la derivata prima come l'accelerazione: puoi passare da una accelerazione positiva, magari molto alta, a una negativa molto bassa in un tempo quasi nullo? Se è spalmata in un lasso di tempo più ampio, ciò è possibile, ma in un infinitesimo di secondo non lo è. 

Un altro modo per vederla è immaginarla come cambio di pendenza/ripidità in tempi molto brevi immaginando di far scivolare una pallina sulla funzione: essa avrà problemi di percorrenza (immagina farla scivolare su $|x|$, si fermerebbe in $x=0$).

 

Matematicamente i punti di non derivabilità sono le singolarità della funzione derivata, in breve la funzione in quei punti potrebbe non essere definita o comportarsi in maniera ambigua. Se vuoi sperimentare, calcola analiticamente le derivate di varie funzioni e osserva come si comportano ai bordi dei loro domini di esistenza: o avranno singolarità o qualche asintoto.

angoloso

Queste sono le singolarità di f' di cui parlo, i punti di non derivabilità dovuti alle singolarità di f' sono su f, non su f'.

17541524912994104065649885495182

Per gli altri casi guarda la risposta di @mg .

Consiglio i seguenti video con animazioni:

https://m.youtube.com/watch?v=0UbhxwIiu3w&pp=ygUiUHVudGkgbm9uIGRlcml2YWJpbGl0w6AgYW5pbWF6aW9uaQ%3D%3D

 

https://m.youtube.com/watch?v=qf2lvXM1W0s&pp=ygUfTm90IGRpZmZlcmVudGlhYmxlIHBvaW50cyBtYW5pbQ%3D%3D

 



Risposta
SOS Matematica

4.6
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