Problema con equazione di secondo grado

Chiamiamo x il lato del quadrato iniziale; i vasetti iniziali sono x^2;

la nonna allunga i due lati : uno di 7 vasetti, l'altro di 4 vasetti.

Avremo un rettangolo fatto di vasetti,  con i lati x + 7 e x + 4;

Area = (x + 7) (x + 4); (numero totale di vasetti);

numero vasetti in fila = 108;

(x + 7) * (x + 4) = 108;

x^2 + 4x + 7x + 28 = 108;

x^2 + 11x + 28 - 108 = 0;

x^2 + 11x - 80 = 0;

x = [-11 +- radice quadrata(121 + 4 * 80)] / 2;

x = [- 11 +- radice(441)] / 2;

x = [- 11 +- 21] / 2;

matematicamente abbiamo due soluzioni; la soluzione positiva è quella accettabile geometricamente.

x = [- 11 + 21] / 2;

x = 10 / 2 = 5 vasetti; lato del primo quadrato;

numero iniziale = 5^2 = 25 vasetti.

Poi la nonna ne ha aggiunti 108 - 25 =  83.

(5 + 7) * (5 + 4) = 12 * 9 = 108 vasetti.

Ciao @pino85

 Immaginando lo schema a righe e colonne 

l' equazione risolvente è 

(n + 4)(n + 7) = 108             n in N

n^2 + 11 n + 28 - 108 = 0

n^2 + 11 n - 80 = 0

n^2 + 16 n - 5n - 80 = 0

n(n + 16) - 5(n + 16) = 0

(n + 16)(n - 5) = 0

n - 5 = 0

n = 5 é l'unica soluzione accettabilr

Le conserve erano allora 5^2 = 25

Infatti 5 + 4 = 9 e 5 + 7 = 12 : 9 x 12 = 108

La nonna ha sistemato in cantina dei vasetti di conserva in modo da formare un quadrato.

Prepara poi dei nuovi vasetti di conserva che dispone accanto ai precedenti formando, anziché un quadrato, un rettangolo di lati x+4  ed x+7 . Le conserva sono ora 108.

Quante erano prima le conserve?

(x+4)(x+7 = 108

x^2+11x+28 = 108

x = (-11+√11^2+4*80) / 2 = (-11+21)/2 = 5 

n = x^2 = 25 

(x+7)*(x+4)=108   x^2+11x-80=0    x=5     x^2=25

La nonna ha sistemato in cantina dei vasetti di conserva in modo da formare un quadrato.

Prepara poi dei nuovi vasetti di conserva che dispone accanto ai precedenti formando quattro nuove file in una direzione e sette nell’altra. I vasetti di conserva sono ora 108.

Quanti erano prima i vasetti di conserva?

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Numero vasetti per lato del quadrato iniziale $\small =x;$

quindi:

$\small (x+7)(x+4) = 108$

$\small x^2+7x+4x+28 = 108$

$\small x^2+11x+28-108 = 0$

$\small x^2+11x-80 = 0$

$\small a=1;\; b= 11;\; c= -80$

$\small \Delta= b^2-4ac = 11^2-4·1·(-80) = 121-(-320) = 121+320 = 441;$

formula risolutiva:

$\small x_{1,2}= \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-11\pm\sqrt{441}}{2·1} = \dfrac{-11\pm21}{2}$

$\small x_1= \dfrac{-11-21}{2} = \dfrac{-32}{2} = -16$ (che escludiamo perché negativo);

$\small x_2= \dfrac{-11+21}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$

quindi il quadrato iniziale era formato da $\small x^2 = 5^2 = 25\,vasetti.$