PUNTI DI NON DERIVABILITA'

$f(x) = \begin{cases} e^x -1 & \text{if $x \lt 0$} \\ ax^2+bx+c & \text{if $x \ge 0$} \end{cases} $

I due tratti sono composti da funzioni derivabili almeno due volte, quindi la funzione f(x) lo sarà se ammette derivata seconda nel punto x = 0.

Da un noto teorema segue che se una funzione è derivabile in (a, b) allora sarà continua in (a, b). 

1. Imponiamo la continuità di f(x) per x = 0.
   1. $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$
   2. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = c$

per essere continua c deve essere eguale a 0. c = 0

    2. Imponiamo la continuità della derivata prima per x = 0

$f'(x) = \begin{cases} e^x  & \text{if $x \lt 0$} \\ 2ax+b & \text{if $x \ge 0$} \end{cases} $

1. 1. $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 1$
   2. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f'(x) = f(1) = b$
2.  

per avere la derivata continua in x = 0  b deve essere eguale a uno. b = 1

     3. Imponiamo che le derivate laterali seconde siano eguali per x = 0

$f^{(2)}(x) = \begin{cases} e^x  & \text{if $x \lt 0$} \\ 2a &\text{if $x \ge 0$} \end{cases} $

1. 1. $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f^{(2)}(x) = 1$
   2. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f^{(2)}(x) = 2a$
2.  

per avere la derivata seconda in x = 0  a deve essere eguale a 1/2. $a = \frac{1}{2}$

La funzione f(x) è espressa dalla

$f(x) = \begin{cases} e^x -1 & \text{if $x \lt 0$} \\ \frac{x^2}{2}+x & \text{if $x \ge 0$} \end{cases} $