[Risolto] PUNTI DI NON DERVIABILITA'

$f(x) = \begin{cases} \sqrt[3]{x|ln(x)-1|} & x>0 \\ 0 & x=0 \end{cases}$

Il primo tratto è rappresentato da una funzione continua in (0, +∞) essendo prodotto, composizioni di funzioni elementari continue.

Dobbiamo verificare la continuità per x = 0. Dalla definizione di continuità proviamo che 

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$

Si tratta di una forma indeterminata del tipo 0*(-∞). Dopo averla riscritta nella forma equivalente

$ \frac {1 - ln(x)} {(\frac {1}{x})}$

Utilizzando de l'Hôpital si ottiene che il limite delle derivate del numeratore e del denominatore vale 0, infatti

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x = 0$

quindi il limite della funzione f(x) vale 0.

Conclusione. La funzione è continua in [0, +∞).

.

Passiamo alla derivabilità.

Ancora una volta possiamo applicare l'algebra delle funzioni derivabili per affermare che f(x) è derivabile. Lo possiamo fare per ogni x del dominio ad eccezione di  x = 0 dove cambia il tratto e per x = e dove l'argomento del valore assoluto si annulla.

Per i due punti non ci resta che dimostrarlo. 

Determiniamo la derivata fuori dai due punti. 

$ f'(x) =  \frac {ln(x)(ln(x) - 1)}{3x^{\frac{2}{3}}|ln(x)-1|^{\frac{5}{3}}} $

Osserviamo che la funzione derivata è una funzione continua, quindi possiamo calcolare la derivata destra nel punto  x = 0 come limite di f'(x)

• $D^+(0)$

La formula si riduce a

$ f'(x) =  \frac {- ln(x)}{3x^{\frac{2}{3}}(ln(x)-1)^{\frac{2}{3}}} $

il cui limite per x → 0⁺ vale +∞, in altre parole la derivata NON esiste e la tangente alla curva diventa verticale.

• $D^+(e)$

La formula si riduce a

$ f'(x) =  \frac { ln(x)}{3x^{\frac{2}{3}}(ln(x)-1)^{\frac{2}{3}}} $

Il limite per x→ 0⁺ vale +∞, quindi la derivata non esiste accompagnata dalla solita tangente verticale. 

• $D^-(e)$

La formula si riduce a

$ f'(x) =  \frac {-ln(x)}{3x^{\frac{2}{3}}(ln(x)-1)^{\frac{2}{3}}}$

Il limite per x→ 0⁻ vale -∞, quindi la derivata non esiste accompagnata dalla solita tangente verticale. 

Conclusione.

Per x = 0 la derivata laterale non esiste. La definizione richiede che sia un numero finito.

In "e" la funzione non è derivabile e ci troviamo di fronte a una cuspide. Il valore della funzione f(e) = 0.