[Risolto] FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE, PUNTI DI FLESSO

$y(x) = (x^2 - 4)e^{-x}$

1. Dominio = ℝ
2. Derivate

• • Prima. $ y'(x) = (-x^2 +2x +4)e^{-x}$
  • Seconda. $ y^{(2)}(x) = (x^2-4x-2)e^{-x}$

Oss. I punti di flesso a tangente orizzontale si ricercano tra i punti stazionari. In questo caso vi sono solo due punti stazionari

• • • $x_1 = 1 - \sqrt(5)$  a cui corrisponde un minimo
    • $x_2 = 1 + \sqrt(5)$  a cui corrisponde un massimo

Non vi sono flessi a tangente orizzontale. Fine osservazione.

' 

Passiamo all'analisi del segno della derivata seconda. Il segno di $ y^{(2)}(x)$ è equivalente al segno del trinomio (x^2-4x-2) per cui:

i) $ y^{(2)}(x) < 0 \,\, \text {per} \,\, x \in (2-\sqrt{6}, 2+\sqrt{6})$ in tale intervallo la funzione y(x) risulta concava
ii) $ y^{(2)}(x) = 0 \,\, \text {per} = 2±\sqrt{6}$
iii) $ y^{(2)}(x) > 0 \,\, \text {per}\,\, x \in \{(- \infty, 2-\sqrt{6}) \cup (2+\sqrt{6}, +\infty) \}$ in tali intervalli la funzione y(x) risulta convessa.

Conclusione.

Nel punto $x_1 = 2-\sqrt{6}$ la funzione passa da convessa a concava, si tratta di un flesso discendente.

Nel punto $x_2 = 2+\sqrt{6}$ la funzione passa da concava a convessa, si tratta di un flesso ascendente.