Spiegare e argomentare.
Spiegare e argomentare.
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Livello 2
La presenza del termine (-1)ⁿ ci suggerisce di spezzare l'insieme A in due parti. Il sottoinsieme $A_p$ per n pari e $A_d$ per n dispari.
$ A'_p = \{x \in ℝ : \frac{2n}{n+2}; n \in ℕ\} = \{x \in ℝ : 2 - \frac{4}{n+2}; n \in ℕ\} $
Si tratta di provare che esiste un elemento della soluzione in ( 2-δ, 2 - 4/(n+2)). Illustrato dal grafico
__2-δ_______2-4/(n+2)_________2
ovvero
2-δ < 2- 4/(n+2) < 2
La seconda disequazione è banale, rimane da provare
$ 2-δ < 2- \frac{4}{n+2}$
$ -δ < - \frac{4}{n+2}$
$ δ > \frac{4}{n+2}$
$ n+2 > \frac{4}{δ}$
$ n > \frac{4}{δ} - 2$
La proprietà archimedea dei numeri reali ci assicura che un tale numero naturale esiste.
Analogamente si procede per n dispari
$ A'_d = \{x \in ℝ : -\frac{2n}{n+2}; n \in ℕ\} = \{x \in ℝ : \frac{4}{n+2} - 2; n \in ℕ\} $
trovando che
$ A'_d = -2$
Conclusione. A' = ± 2.
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Livello 6