[Risolto] Spiegazioni sulle proporzioni

Ciao,

si tratta di applicare le proprietà delle proporzioni: proprietà dello scomporre e del comporre.

Ti ricordo le proprietà:

proprietà dello scomporre: in una proporzione la differenza del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo termine) come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al terzo (o al quarto termine);

proprietà del comporre: in una proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo termine) come la somma tra il terzo e il quarto termine sta al terzo (o al quarto termine);

 

 

Partiamo dal tuo esercizio.

Abbiamo che:

$x27$ con $x-y=2$

 

Conosciamo la differenza e il rapporto tra i due numeri.

 

Applichiamo la proprietà dello scomporre alla proporzione, e otteniamo:

$(x-y)33$

 

Ora sostituendo la relazione x-y=2 , e risolvendo, si ha:

$233$

 

Per la proprietà fondamentale:

$x=(2·33)6=11$

 

per ricavare il valore della y basta sottrarre al valore della x la differenza:

$y=x-2=11-2=9$

 

I due numeri sono pertanto

$x=81$ e $y=18$

 

 

Ora ti faccio un esempio con  $x+y$

$x5$ con $x+y=39$

 

Conosciamo la somma e il rapporto tra i due numeri.

Applichiamo la proprietà dello scomporre alla proporzione, e otteniamo:

$(x+y)8$

 

Ora sostituendo la relazione x-y=2 , e risolvendo, si ha:

$398$

 

Per la proprietà fondamentale:

$x=(39·8)13=24$

 

per ricavare il valore della y basta sottrarre al valore della x la differenza:

$y=x-39=39-24=15$

 

I due numeri sono pertanto

$x=24$ e $y=15$

 

saluti ?

 

Come già saprai, per risolvere una proporzione dobbiamo usare la proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Nel caso in cui si ha un'informazione su $ x-y $ possiamo usare la proprietà dello scomporre, che dice:
se vale $ A:B = C:D $ allora vale anche $ (A-B):A = (C-D):C $ oppure $(A-B):B = (C-D):D $, cioè le proporzioni sono equivalenti.
Nel nostro caso possiamo usare la seconda proporzione equivalente:
$ x:y = 33:27 \ \Rightarrow \ (x-y):x= (33-27): 33 $
Ma sappiamo che $ x-y = 2 $, quindi possiamo sostituirlo
$ 2:x = (33-27):33 \ \Rightarrow \ 2:x = 6:33 \ \Rightarrow \ x = (2 \times 33):6 = 66:6 = 11$
quindi adesso possiamo trovare $ y $: $ y = x-2 = 9 $

Per l'altra proporzione su usa invece la proprietà del comporre (che è come quella dello scomporre ma con il $ + $):
se vale $ A:B = C:D $ allora vale anche $ (A+B):A = (C+D):C $ oppure $(A+B):B = (C+D):D $, cioè le proporzioni sono equivalenti.
quindi, se ad esempio abbiamo $ x+y = 2 $ allora:

$ x:y = 33:27 \ \Rightarrow \ (x+y):x= (33+27): 33 \Rightarrow \ 2:x = 60 : 33 \Rightarrow \ x = (33 \times 2):60 = 66:60 = \frac{11}{10} $.

Mi spiegate per favore - passo per passo - come si fanno questo tipo di proporzioni?

x : y = 33 : 27 con x - y = 2

te la riscrivo

x/y = 33/27

33/27 si semplifica per 3 e diventa 11/9

x = 11y/9  (*1)

x-y = 2  (*2)

x = y+2  (*3)

sostituisco, nella (*1), il valore di x calcolato nelle (*3)

y+2 = 11y/9

2 = y(11/9-1) 

2 = 2y/9

y = 9 

x = y+2 = 9+2 = 11 

 

E poi, come si fanno quelle con x + y anziché x - y?

x/y = 33/27

33/27 si semplifica per 3 e diventa 11/9

x = 11y/9  (*1)

x+y = 2  (*2)

x = 2-y  (*3)

sostituisco, nella (*1), il valore di x calcolato nelle (*3)

2-y = 11y/9

2 = y(11/9+1) 

2 = 20y/9

y = 18/20 = 9/10 

x = 2-y = 2-9/10  = 11/10