[Risolto] Come posso dimostrare che il piano osculatore forma in ogni punto un angolo costante con l’asse z?

Ciao,

Partiamo trovando il piano osculatore:

Abbiamo bisogno delle derivate prime e seconde delle componenti della curva:

Per cui:

$x'=1$ $x''=0$

$y'= sinht$ $y''=cosht$

$z'= cosht$ $z''=sinht$

Scriviamo la matrice:

$\begin{bmatrix}x-t &y-cosht& z-sinht\\1&sinht&cosht\\
0&cosht& sinht
\end{bmatrix}$

Calcoliamo il determinante:

$(x-t)det\begin{bmatrix}sinht& cosht\\
cosht& sinht
\end{bmatrix}-(y-cosht)det\begin{bmatrix}
1& cosht\\
0& sinht
\end{bmatrix}+(z-sinht)det\begin{bmatrix}
1& sinht\\
0& cosht
\end{bmatrix}= (x-t)(-1)-(y-cosht)(sinht)+(z-sinht)(cosht)$

Imponendo uguale a zero troviamo il piano osculatore:

$x+ysinht-zcosht-t=0$

Chiamo $\overrightarrow{v}$ il vettore normale al piano:

$\overrightarrow{v}=(1,sinht,-cosht)$

Il versore del asse z è:

$\overrightarrow{z}=(0,0,1)$

Ricordando che il coseno del'angolo tra due vettori u e v è dato da:

$cos(\theta)=\frac{\overrightarrow{u}×\overrightarrow{v}}{|u||v|}$

Nel nostro caso:

$cos(\theta)=\frac{0×1+0×sinht+1×(-cosht)}{(1)×\sqrt{1+sinh^{2}t+cosh^{2}t}}$

$cos(\theta)=\frac{-cosht}{(1)×\sqrt{2cosh^{2}t}}$

$cos(\theta)=\frac{-cosht}{\sqrt{2}cosht}$

$cos(\theta)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

L'angolo non dipende quindi da t ed è quindi costante.

Non voglio essere presuntuoso ma penso ci siano errori nel calcolo. Ad ogni modo, ho capito l'andamento generale dell'esercizio ed esce un mezzo. Grazie lo stesso dell'idea!