[Risolto] Esercizio con Teorema Rolle

Innanzitutto bisogna determinare il dominio D.

Essendo una funzione intera il dominio è tutto l’insieme R, quindi $D=R$

Ora bisogna stabilire se le ipotesi del teorema sono soddisfatte : 

Agli estremi dell’intervallo [0;2] si ha

$g(0) = g(2)$    

Sostituendo il valore nella funzione $g(x)$ abbiamo:

$g(0) = 1$

$g(2) = 1$

Essendo lo stesso valore, la prima ipotesi è verificata.

Bisogna ora dimostrare se vale la continuità in [0, 2]:

La funzione è continua perché somma di funzioni continue.

Passiamo ora alla derivabilità in (0;2)   

La derivata di $g(x)$ è

$g'(x) = -3x^2+ 4$

Anche $g’(x)$ è una funzione intera quindi il dominio è $D=R$

La funzione è derivabile in (0; 2).

Visto che sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Rolle allora esiste un punto $c \in (0; 2)$ tale che $g'(c) = 0$.

Allora

$g'(c) = -3^c2 + 4 = 0$

$c^2 = \frac{4}{3}$

Allora le soluzioni sono:

$c_1=\sqrt{\frac{4}{3}  } \vee c_2=-\sqrt{\frac{4}{3}  }$

Visto che solo $c_1$ appartiene all’intervallo considerato, allora $c_1$ è il valore che soddisfa il teorema.

Naturalmente, la soluzione da prendere per l'intervallo dato,[0,2] ,è solo quella positiva.