[Risolto] Dimostrazione Teorema Rolle

Ciao Fabio!

Data una funzione f (x) definita in un intervallo limitato e chiuso [a; b] con le seguenti proprietà:

• f (x) è continua in [a; b],
• f (x) è derivabile in ]a; b[,
• f(a)=f(b),

allora esiste almeno un punto c, interno all’intervallo, per il quale risulta f'(c)=0.

DIMOSTRAZIONE

Poiché $f(x)$ per ipotesi è continua nell’intervallo chiuso [a; b], per il teorema di Weierstrass, essa ammette massimo M e minimo m in tale intervallo, cioè esistono $c, d \epsilon [a; b]$ tali che:

$m=f(c) \leq f(x) \leq f(d)= M$ $\forall x \epsilon [a; b]$

• PRIMO CASO: m = M. Allora:
  $m = f(c) = f(x) = f(d) = M$ $\forall x \epsilon [a; b]$

e quindi f è costante. Pertanto la sua derivata è nulla $\forall x \epsilon [a; b]$

• SECONDO CASO: m<M

La funzione non è costante, e poiché f(a) = f(b) per ipotesi, almeno uno dei punti c e d deve essere interno all’intervallo [a; b]. Per esempio, supponiamo che $c\epsilon ]a; b[$ .
Essendo f(c) il valore minimo, per ogni incremento h (positivo o negativo) tale che $c + h \epsilon ]a; b[ $ si ha:

$f(c+h) \geq f(c)$ cioè $f(c+h)-f(c) \geq 0 $

Allora, considerando i rapporti incrementali relativi al punto c, risulta:

$\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \geq 0$

per $h>0$

$\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \leq 0$

per $h<0$

Ne consegue che, per l’inverso del teorema della permanenza del segno:

$\lim \underset{h\rightarrow 0^+ }{} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq 0$

e

$\lim \underset{h\rightarrow 0^- }{} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq 0$

I due limiti rappresentano rispettivamente la derivata destra e sinistra di f(x) in c e, poiché f(x) è derivabile, devono essere finiti e coincidere, pertanto:

$f'(c)=\lim \underset{h\rightarrow 0 }{} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}= 0$

Il teorema si dimostra analogamente nel caso in cui d, anziché c, sia interno all’intervallo [a; b].

Ciao,

Partiamo dal enunciato del teroema, esso afferma che:

Presa una funzione  $f(x)$ continua in [a,b] e derivabile in $(a,b)$ se so verifica $f(a)=f(b)$ allora esiste un punto $c\in(a,b)$ tale per cui $f'(c)=0$.

Dimostrazione:

Per la dimostrazione del teorema abbiamo bisogno di un altro teroema "il teorma di Waierstrass", quest'ultimo afferma che se una funzione è continua in $[a,b]$ allora la funzione ammette almeno un punto di massimo relativo e almeno un punto di minimo relativo in $[a,b]$

Se $[a,b]$ è il dominio della funzione allora nel intervallo essa ammette almeno un massimo assoluto e almeno un minimo assoluto.

Ora procediamo con la il teorma di Rolle.

Esso riapetta le condizioni del teorma di Waierstrass per cui in $[a,b]$ esistono: almeno massimo relativo $M$ e un minimo relativo $m$ 

Abbiaomo due possibilità:

1° caso) $M$ ed $m$ coincidono se essi vengono raggiunti entrambi algi estremi del intervallo essendo $f(a)=f(b)$ in questo caso la funzione e banalmente costante in $[a,b]$   l'i e avrà quindi derivata nulla su tutto l'intevallo (a,b).

2° caso) uno tra $M$ ed $m$ cade nel intevallo $(a,b)$.  Scegliamo $m$ ( avremo potuto scegliere $M$ è indifferente) allora esiste $c\in(a,b)$ tale per cui $f(c)=m$ ma per il teorema di Fermat $f'(c)=0$

C.v.d.