[Risolto] Equazione del piano passante per i punti ABC

Ciao, 

Siano A(1,0,0) B(0,-3,1) C(2,-2,0) e P(x,y,z) un punto generico  

Calcoliamo le componenti del vettore di estremi A e B e del vettore di estremi A e C e del vettore di estremi A e P

$\overrightarrow{AB}=(0-1;-3-0;1-0)=(-1;-3;1)$

$\overrightarrow{AC}=(2-1;-2-0;0-0)=(1,-2;0)$

$\overrightarrow{AP}=(x-1;y-0;z-0)=(x-1;y;z)$  

Per trovare l'equzione del piano dobbiamo calcolare il determinante della matrice che chiamiamo $A$ ,di righe i vettori trovati, e imporlo uguale a 0, procediamo:

$detA=\begin{bmatrix} x-1& y & z \\ -1 & -3& 1\\1 & -2& 0 \end{bmatrix}=(x-1)det\begin{bmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}-ydet\begin{bmatrix} -1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} +zdet\begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}=(x-1)×(2)-y×(-1)+z×(5)$   Imponiamo uguale a 0:

$(x-1)(2)-y(-1)+z×5=0$

Il piano sarà:

$2x+y+5z-2=0$

Ho fatto un calcolo semplicissimo, trovando la retta attraverso equazioni parametriche. 

Una soluzione sarebbe lasciarla in quel modo ma, qualora ti dicesse di esplicitarla in forma cartesiana , ti conviene trovare i parametri , che qui ho chiamato s e t , e ti ricavi il piano.

N.B.1) un metodo analogo ma che prevede un po' di calcoli sarebbe quello di sostituire all'equazione generica del piano i tre punti. 

Ottieni così 3 equazioni in 4 incognite. Ti rimarrà da calcolare d, che puoi mettere a tua scelta. 

N.B.2) qualunque calcolo tu decida di fare , ricordati che un modo per capire se hai fatto bene è sostituire i valori del punto nel piano in modo da verificarne l'identità ( deve uscire 2=2 oppure 0=0 ecc..)

Spero sia stato esaustivo. 

Buono studio!