Progressioni crescenti e decrescenti

Esercizio 57

Es. $59$.

\[\frac{d}{dn}\frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} \overset{\mathcal{Q}}{=} \frac{4n}{(n^2 + 1)^2} > 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}\,;\]

ergo la successione è strettamente crescente.

58

(n^2 + 3)/(2n + 1)

e' definita per ogni n in N in quanto il denominatore e' sempre diverso da 0. Possiamo immaginare che la successione sia crescente almeno definitivamente perché per n "grande" il comportamento e' simile a quello di n^2/(2n) =  n/2.

Per verificarlo studiamo la crescenza di

a(x) = (x^2+3)/(2x+1) per x >= 1

a'(x) = (2x(2x+1)-2(x^2+3))/(2x+1)^2 =

= 2(x^2+x-3)/(2x+1)^2

Ti lascio il calcolo e la conclusione ricordandoti che x deve stare in N.

La successione e ' crescente per n >= 2.

La prima parte ("come stabilire se ...") è semplice: elencando i casi possibili.
La seconda ("un esercizio qualsiasi tra questi") lo è assai meno: gli esercizi sono più generali di così!
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Prima parte
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Successioni e progressioni
Una successione {a(n)} del primo ordine è definita da un solo valore d'innesco A = a(0) e da una legge di formazione che esprime ogni termine d'indice positivo in funzione del solo termine d'indice precedente
* {a(n)} ≡ (a(0) = A) & (a(n + 1) = F[a(n)])
in rari casi, risolvendo l'equazione alle differenze, si riesce a scrivere una definizione in forma chiusa
* {a(n)} ≡ a(n) = f(n)
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Si dice progressione aritmetica ogni successione con legge di formazione: a(n + 1) = a(n) + d.
Si dice progressione geometrica ogni successione con legge di formazione: a(n + 1) = r*a(n).
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Tipi di monotonicità (la monotonìa pertiene alle cose pallose!)
Una successione è monotòna (se fosse pallosa sarebbe monòtona!) di un tipo o dell'altro se vale la relativa relazione d'ordine fra ogni termine d'indice positivo e il suo predecessore
* {a(n)} è monotòna discendente se e solo se a(n + 1) <= a(n)
* {a(n)} è monotòna decrescente se e solo se a(n + 1) < a(n)
* {a(n)} è monotòna uniforme se e solo se a(n + 1) = a(n)
* {a(n)} è monotòna crescente se e solo se a(n + 1) > a(n)
* {a(n)} è monotòna ascendente se e solo se a(n + 1) >= a(n)
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Una progressione aritmetica è
* monotòna decrescente se e solo se d < 0
* monotòna uniforme se e solo se d = 0
* monotòna crescente se e solo se d > 0
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Una progressione geometrica è
* monotòna decrescente se e solo se r < 1 & A > 0 oppure r > 1 & A < 0
* monotòna uniforme se e solo se r = 1 oppure A = 0
* monotòna crescente se e solo se r > 1 & A > 0 oppure r < 1 & A < 0
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Seconda parte
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Gli undici esercizi da 52 a 62 non riguardano progressioni, né chiedono di determinare se la successione data lo sia.
La prima consegna chiede l'insieme di definizione (nessun denominatore zero) e, implicitamente, l'insieme di definizione reale (nessun denominatore zero e nessun radicale quadratico immaginario).
Si noti che la semplice consegna "per quali valori di n è definita" ammette che un radicale possa essere immaginario!
La seconda e la terza consegna sono stupide: valutare qualche termine, formulare una congettura e poi cercare di dimostrarla è come usare una mazzetta da mezzo chilo per aprire le arachidi; uno spreco d'energia, con alte probabilità di ottenere un pasticcio.
La via corretta, economica, a minima probabilità d'errore è quella del confronto simbolico fra due termini consecutivi.
Ad esempio, per l'esercizio 56, si ha
* a(n) = n^2 - 6*n + 8
* a(n + 1) = (n + 1)^2 - 6*(n + 1) + 8 = n^2 - 4*n + 3
da cui
* {56} è monotòna discendente se e solo se n^2 - 4*n + 3 <= n^2 - 6*n + 8 ≡ n <= 5/2 (no, c'è n)
* {56} è monotòna decrescente se e solo se n^2 - 4*n + 3 < n^2 - 6*n + 8 ≡ n < 5/2 (no, c'è n)
* {56} è monotòna uniforme se e solo se n^2 - 4*n + 3 = n^2 - 6*n + 8 ≡ n = 5/2 (no, c'è n)
* {56} è monotòna crescente se e solo se n^2 - 4*n + 3 > n^2 - 6*n + 8 ≡ n > 5/2 (no, c'è n)
* {56} è monotòna ascendente se e solo se n^2 - 4*n + 3 >= n^2 - 6*n + 8 ≡ n >= 5/2 (no, c'è n)
Quindi la successione 56 non è monotòna perché nessuna delle cinque disequazioni è identicamente vera, ma tutte escludono un sottinsieme di termini.
NOTA: il risultato atteso ("strettamente crescente per n > 2") è un errore di una tale castroneria da rasentare la barzelletta, se non fosse così scoraggiantemente stupido.
Con la stessa logica di quell'ignorante incaricato di predisporre i risultati attesi si può anche dire
* discendente per n < 3
* decrescente per n < 2
* ascendente per n > 2
ma si farebbero ridere i polli.