Verificare se siano rispettate le ipotesi di esistenza e unicità (in grande o in piccolo?) della soluzione del seguente Problema di Cauchy:
$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}(x)+y(x)=\cos x \\
y(\pi)=-\frac{1}{2}
\end{array}\right.
$$
e in seguito determinare la soluzione.
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Livello 0
Per ora svolgo solo la parte b)
y' + y = cos x
ha come omogenea associata
y' + y = 0
e l'algebrica associata u + 1 = 0 ha per radice u = -1
e quindi la soluzione é C e^(-x).
Come soluzione particolare, in base al metodo di familiarità, sceglierai
yp = A cos x + B sin x
- A sin x + B cos x + A cos x + B sin x = cos x
A + B = 1
- A + B = 0
da cui A = B = 1/2
y = 1/2 cos x + 1/2 sin x + C e^(-x)
-1/2 = -1/2 + 0 + C e^(-TT)
0 = C e^(-TT)
C = 0
y = 1/2 cos x + 1/2 sin x
e dovrebbe essere una soluzione globale, valida in R.
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Livello 7
Se il problema è di Cauchy, sarebbe preferibile che se ne occupasse Cauchy : non capisco questo volersi fare gli affari altrui 🤔
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Genius III
