Una volta stabilito il segno della funzione $f(x)=\frac{1}{x^{4}-1}$ nell'intervallo $[\sqrt{3},+\infty)$, stabilire, con i criteri di integrabilità, se la funzione sia integrabile in tale intervallo e, in caso positivo, calcolare l'integrale improprio
$$
\int_{\sqrt{3}}^{+\infty} \frac{d x}{\left(x^{4}-1\right)} .
$$
43
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Livello 0
Si comprende subito che x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x + 1 )(x - 1) é positivo per x > 1 e a maggior ragione in ogni
punto dell'intervallo di integrazione.
Essendo +oo l'unico punto singolare dell'integranda l'integrale converge perché la funzione converge a 0
per x->oo più rapidamente di 1/x^(1+eps) in accordo al crierio di integrabilità.
Per ottenere il valore devi scomporre
(Ax+B)/(x^2 + 1) + C/(x + 1) + D(x - 1) = 1/(x^4 - 1)
da cui
(Ax + B)(x^2 - 1) + C(x^2 + 1)(x - 1) + D(x^2 + 1)(x + 1) = 1 per ogni x
e puoi operare secondo il principio di identità dei polinomi.
Lascio questi calcoli a te.
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Livello 7
@eidosm 👍...nice job
