[Risolto] problemino di geometria

VOLANTE UNO A VOLANTE DUE ...
volevo dire Euclide uno, Euclide due, Pitagora e qualche pinzillacchera di contorno.
Sempreché, ovviamente, ci si riferisca a un testo emendato dai tuoi equivoci di scrittura e che descriva UN AUTENTICO TRIANGOLO RETTANGOLO.
Nella tua descrizione si hanno contemporaneamente "l'ipotenusa CB" e la "altezza relativa all'ipotenusa(CH)" col povero vertice C obbligato a saltabeccare fra due ruoli incompatibili.
Quello che l'esercizio chiede è di risolvere completamente un triangolo rettangolo del quale sono dati:
* la lunghezza dell'ipotenusa pari a quella di un cateto più una costante k;
* la lunghezza dell'altro cateto pari al quadruplo di k.
NB: nel tuo testo k si chiama 8*a.
------------------------------
Per intendersi sui nomi serve un disegno di riferimento.
Tracciare una circonferenza di raggio r ed un suo diametro AB (p.es. orizzontale).
Su una semicirconferenza (p.es. quella superiore) tracciare un punto C e, da C, abbassare la perpendicolare ad AB fino al piede nel punto H.
Il triangolo ABC è rettangolo in C (inscritto in una semicirconferenza, e il diametro AB è l'ipotenusa), con altezza CH, cateti AC e BC, proiezioni dei cateti AH e HB.
---------------
Le entità di cui nominare le misure sono
* |AB| = c = 2*r
* |AC| = b
* |BC| = a
* |AH| = t
* |BH| = s
* |CH| = h
* perimetro p = a + b + c
* area S = a*b/2 = c*h/2
e ricapitolo i teoremi sul triangolo rettangolo.
---------------
I teoremi da ricapitolare sono
Teorema di Pitagora: c^2 = a^2 + b^2; b^2 = s^2 + h^2; a^2 = t^2 + h^2.
I teorema di Euclide: a^2 = t*c; b^2 = s*c.
II teorema di Euclide: h^2 = s*t = (a*b/c)^2.
==============================
IL TUO PROBLEMA (riveduto e corretto!)
------------------------------
Dati
* |AB| = c = |BC| + k ≡ c = a + k
* |AC| = b = 4*k
ricavare pian piano tutto il resto.
---------------
LATI & C
* |BC| = a = √(c^2 - b^2) ≡ a = √(a^2 + 2*a*k - 15*k^2) ≡
≡ a = (15/2)*k
* c = a + k = (17/2)*k
* perimetro p = a + b + c = (15/2)*k + 4*k + (17/2)*k = 20*k
* area S = a*b/2 = c*h/2
da cui
** area S = a*b/2 = ((15/2)*k)*(4*k)/2 = 15*k^2
** h = 2*S/c = 2*(15*k^2)/((17/2)*k) = (60/17)*k ~= (7/2)*k
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=triangle+edge+lengths+4%2C15%2F2%2C17%2F2
---------------
PROJEZIONI
I teorema di Euclide: a^2 = t*c; b^2 = s*c.
da cui
* |AH| = t = a^2/c = ((15/2)*k)^2/((17/2)*k) = (225/34)*k
* |BH| = s = b^2/c = (4*k)^2/((17/2)*k) = (32/34)*k
==============================
NB: nel tuo testo k si chiama 8*a.
Vuol dire che, se nei risultati scrivi "8*a" al posto di "k" e "64*aì2" al posto di "k^2", ti ritrovi nella TUA nomenclatura (che poi dovrai rendere coerente!).