Problemi sul cerchio

Ciao Beppe,

1)

Indicando con T il punto di tangenza, il triangolo POT risulta essere rettangolo in T. Infatti (dalle proprietà geometriche della circonferenza) il raggio vettore è perpendicolare alla retta tangente nel punto di tangenza. Quindi OP è l'ipotenusa. 

Essendo il triangolo rettangolo, indicando con x il raggio, vale la relazione (teorema di Pitagora) 

OP² = OH² + HP²

41² = x² + (x+31)²

x= 9 cm (raggio) 

2) Teorema della secante e della tangente 

Quindi nel nostro caso:

(2R+14a)/(R+7a) = (R+7a)/14a

Da cui si ricava:

R= 21a

4)Teorema della secante e della tangente 

Indichiamo con x la lunghezza della secante. Allora:

x/(18a) = 18a/(x-27a)

Da cui si ricava:

x=36a 

Es 3)

Il triangolo PAO è rettangolo in A. Applicando il secondo teorema di Euclide:

AH² = PH*H0

Indichiamo con:

HO= x

PH= 25 - x

Vale la relazione:

(24/2)² = x*(25-x)

Da cui si ricava: x=9 v x=16

Quindi:

R1= radice (9²+12²)= 15 cm

R2= radice (16²+12²)= 20 cm

(terna pitagorica 3-4-5) 

(terna pitagorica derivata 9-12-15)

(terna pitagorica derivata 12-16-20)

Es 5)

Se applichi il teorema secante e tangente

Indichiamo con x+5 la parte interna della secante, x quella esterna.

Tutta la secante è 2x + 5, la parte esterna x. Quindi

(2x+5)/30 = 30/x

Da cui si ricava: x=20 cm

2)

Da un punto P, esterno ad un cerchio, si conduce la tangente PA ed una secante PO passante per il centro. Sapendo che la parte esterna della secante OP -r misura 14a e che la tangente supera il raggio di 7a, trovare la misura del raggio. Risposta : 21a

OP = 14a+r

(14+r)^2 = (7a+r)^2+r^2

196a^2+r^2+28ar = 49a^2+r^2+14ar+r^2

147a^2-r^2+14ar = 0 

r = (14a+√196a^2+(147*4)A^2)/2 = (14a+28a)/2 = 21a 

1)

Un punto P esterno ad un cerchio, dista dal centro del cerchio 41 cm e la tangente, condotta dal punto P al cerchio, supera di 31 cm il raggio. Trovare la misura di quest'ultimo. Risposta : cm 9

41^2 = (31+r)^2+r^2

1681 = 961+r^2+62r+r^2

360 = r^2+31r

r = (31-√31^2+1440)/-2 = 9,0 cm