[Risolto] Problemi su esercizi di fasci di coniche

Non comprendo il motivo per cui hai fotografato tre compiti diversi: per rispondere a ciò che chiedi («Vorrei capire come calcolare il luogo L del centro e il luogo L del polo della retta s.») sarebbe bastato il solo esercizio 3 del 10 giugno 2010, magari trascritto (le regole citate da Sebastiano chiedono anche la trascrizione del testo dell'unico esercizio sottoponibile al pubblico esame).
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10 giugno 2010 - Es. 3
Nel riferimento Oxy determinare il fascio di coniche Γ(k) centrate in O e tangenti in T(1, 0) la "r ≡ x = 1" ... [due quesiti irrilevanti rispetto a questa domanda] ...
Determinare il luogo L descritto dal polo P(k) della retta "s ≡ 3*x + y - 2 = 0" rispetto a Γ(k).
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"il luogo L del centro" non si calcola: è l'Origine.
Per "il luogo L del polo della retta s" serve qualche parola in più.
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PRELIMINARI
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Le coniche non degeneri centrate in O con assi di simmetria su quelli coordinati sono della forma, con (a, b) positivi,
* (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
e di tipo che dipende dalla configurazione dei doppi segni
#) {±, ±}: tipo
0) {-, -}: iperbole con fuochi sull'asse y
1) {-, +}: iperbole con fuochi sull'asse x
2) {+, -}: ellisse immaginaria [degenere, non interessa]
3a) {+, +} & (a < b): ellisse con fuochi sull'asse y
3b) {+, +} & (a > b): ellisse con fuochi sull'asse x
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La tangenza in T(1, 0) impone
* a = 1
ed esclude le iperboli con fuochi sull'asse y, cioè richiede (con k = b^2 > 0)
* Γ(k) ≡ k*x^2 ± y^2 - k = 0
che, prudenzialmente, è bene partire nell'insieme delle iperboli
* H(k) ≡ k*x^2 - y^2 - k = 0
e in quello delle ellissi
* E(k) ≡ k*x^2 + y^2 - k = 0
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La retta
* s ≡ 3*x + y - 2 = 0 ≡ x/(2/3) + y/2 = 1
interseca gli assi in
* X(2/3, 0), Y(0, 2)
e il polo P(k) della retta s è l'intersezione delle polari (p, q) di (X, Y) che si ricavano applicando gli sdoppiamenti, con (u, v) o X o Y,
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
alle forme canoniche trovate sopra.
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PROCEDURA RISOLUTIVA
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A) Iperboli
A1) (k*x^2 - y^2 - k = 0) & X(2/3, 0) → p ≡ x = 3/2
A2) (k*x^2 - y^2 - k = 0) & Y(0, 2) → q ≡ y = - k/2
A3) polo P(3/2, - k/2)
A4) luogo di P ≡ x = 3/2
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B) Ellissi
B1) (k*x^2 - y^2 + k = 0) & X(2/3, 0) → p ≡ x = 3/2
B2) (k*x^2 - y^2 + k = 0) & Y(0, 2) → q ≡ y = + k/2
B3) polo P(3/2, + k/2)
B4) luogo di P ≡ x = 3/2
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C) Riunificando la partizione prudenziale si ha
C1) (k*x^2 ± y^2 - k = 0) & X(2/3, 0) → p ≡ x = 3/2
C2) (k*x^2 ± y^2 - k = 0) & Y(0, 2) → q ≡ y = ± k/2
C3) polo P(3/2, ± k/2)
C4) luogo di P ≡ L ≡ x = 3/2