Calcolare \[ \int_{C} \frac{-3}{3 x+y+2} d x+\frac{3 x+y+1}{3 x+y+2} d y \] dove $C$ è la curva, percorsa da $A$ e $B$, costituita dai seguenti archi di curva o il minore dei due archi $A D$ della circonferenza di equazione \[ x^{2}+y^{2}-4 x+2 y+1=0 \text { delimitato dai punti } A(0,-1) \text { e } D(2,1) \] o il segmento che unisce $D$ al punto $C(1,5)$ or dela parabola di equazione $y=-\frac{x^{2}}{2}+3 x+\frac{5}{2}$ delimitato da $C$ e dal suo simmetro rispetto all'asse della parabola stessa.
@alexis Ciao! Potresti scrivere un po' meglio la traccia? Non è ben chiaro su quale curva tu debba integrare.
1 Risposta
2
La forma differenziale lineare $\frac{-3}{3 x+y+2} d x+\frac{3 x+y+1}{3 x+y+2} d x$ è una forma differenziale esatta, nel senso che esiste una espressione $F(x ; y)$ il cui differenziale è proprio l'espressione di cui sopra. Indichiamo con $A(x ; y)=\frac{-3}{3 x+y+2}$ e con \[ B(x ; y)=\frac{3 x+y+1}{3 x+y+2} \] Sappiamo che $F(x ; y)$ è differenziabile se il suo differenziale lineare è pari a
$\frac{\partial F}{\partial x} d x+\frac{\partial F}{\partial y} d x$
Questo avviene se e solo se:
1) $\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}$ 2) L'insieme di definizione contiene il cammino di integrazione in uno spazio semplicemente connesso (cioè non vi sono buchi all'interno dell'insieme che compone il dominio di esistenza. Il punto 1) è garantito in quanto
Il punto 2 è garantito osservando che il dominio di esistenza della forma differenziale lineare è dato dai punti che NON si trovano sulla retta di equazione $3 x+y+2=0$ dunque il campo di esistenza corrisponde a 2 semipiani ed il cammino C, descritto come il percorso formato da più passi i quali si trovano tutti sullo stesso semipiano $3 x+y+2>0$ (sul grafico è la regione di colore arancione).
Infatti il passo che parte dal punto $\mathrm{A}$ e arriva al punto $\mathrm{D}$ si trova su una circonferenza di equazioni $x^{2}+y^{2}-4 x+2 y+1=0$ cioè $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=4 \quad$ quindi una circonferenza di centro nel punto $(2 ;-1)$ e raggio 2
Il passo che parte dal punto D al punto $C(1 ; 5)$ è un segmento ed il passo finale è un altro segmento che ha come estremi il punto $\mathrm{C}$ ed il punto $\mathrm{C}^{\prime}(1 ; 1)$ infatti l'asse di simmetria della parabola è $x=3 \quad(x=-b / 2 a)$ disegnando i vari cammini sul piano cartesiano come in figura dunque $\frac{\partial F}{\partial x}=A(x ; y)$ quindi $F(x ; y)=\int \frac{-3}{3 x+y+2} d x+C(y)$ $F(x ; y)=-\ln |3 x+y+2|+C(y)$
$\operatorname{Poi} \frac{\partial F}{\partial y}=B(x ; y)$ per cui $\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial-\ln |3 x+y+2|+C(y)}{\partial y}=\frac{-1}{3 x+y+2}+C^{\prime}(y)$ perciò
$F(x ; y)=-\ln |3 x+y+2|+y+C$ e per semplicità considero la primitiva $F(x ; y)=-\ln |3 x+y+2|+y$
Osservando poi che l'integrale curvilineo della forma differenziale lineare quando questa è esatta allora tale integrale non dipende dal cammino, ma solo dal valore della F nei punti iniziali e finali, cioè
$\int_{C\left(P_{ \text {in }\left.; P_{\text {fin }}\right)}\right.} A(x ; y) d x+B(x ; y) d x=F\left(P_{\text {fin }}\right)-F\left(P_{\text {in }}\right)$
Quindi se il cammino C lo consideriamo globalmente i punti di partenza e di arrivo sono rispettivamente A e C'
quindi
$\int_{C} \frac{-3}{3 x+y+2} d x+\frac{3 x+y+1}{3 x+y+2} d x=-\ln |3+1+2|+1-(-\ln |0-1+2|-1)=-\ln 6+1-(-1)=2-\ln 6$
Se invece voglio calcolare l'integrale sui 3 passi che vanno dal punto A al punto D, dal punto D al punto C e dal punto C al punto C' abbiamo
$\int_{C(A ; D)} \frac{-3}{3 x+y+2} d x+\frac{3 x+y+1}{3 x+y+2} d x=-\ln |6+1+2|+1-(-\ln |0-1+2|-1)=-\ln 9+1-\ln 1+1=2-\ln 9$
$\int_{C(D ; C)} \frac{-3}{3 x+y+2} d x+\frac{3 x+y+1}{3 x+y+2} d x=-\ln |10+1+2|+1-(-\ln |6+1+2|+1)=-\ln 13+1+\ln 9-1=\ln 9-\ln 13$
$\int_{C\left(C ; C^{\prime}\right)} \frac{-3}{3 x+y+2} d x+\frac{3 x+y+1}{3 x+y+2} d x=-\ln |3+1+2|+1-(-\ln |10+1+2|+1)=-\ln 6+1+\ln 13-1=\ln 13-\ln 6$
