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[Risolto] Problemi funzioni goniometriche

  

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599. Considera la funzione f(x) = a tan (bx)

a. Determina a e b con b>0, in modo che il suo periodo sia 2pigreco e che il suo grafico passi per il punto di coordinate (-pigreco/2, -3)

b. Traccia il grafico della funzione y=f(x) in corrispondenza dei valori a e b trovati

c. Servendoti del grafico tracciato, stabilisci graficamente il numero delle soluzioni dell'equazione f(x) + x = 0 nell'intervallo [-2pigreco, pigreco]

d. Stabilisci se l funzione è invertibile nell'intervallo [-pigreco, pigreco] e in caso affermativo determina l'espressione analitica della funzione inversa.

SOLUZIONE [ a. a=3, b=1/2; c. 3 soluzioni; d. f(-1)(x) =2arctan x/3 ]

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Sia la funzione $f(x) =a\cdot tan(bx)$

La generica funzione

$f(x) = a\cdot tan(bx+\varphi)$

ha periodo $T = \pi/ |b|$

Dai dati riportati si ha $ T =\frac{\pi}{b} = 2\pi$ e quindi $b = \frac{1}{2}$

Per trovare $a$ usiamo gli altri dati forniti dal problema

$f(-\pi/4) = a\cdot tan(\frac{1}{2}\cdot \frac{-\pi}{2}) =-3$

$ a\cdot tan(\frac{-\pi}{4}) =-3$

La funzione tangente è dispari quindi $tan(-x) = -tan(x)$

$ -3 = a\cdot (-1)$  $a = 3$

Il grafico della funzione $f(x) = 3tan(x/2)$ risulta

image

 

La funzione $f(x) + x=0$ presenta tre zeri

image

Il periodo della funzione non cambia. È possibile trovare gli zeri anche in questo modo: $3tan(x/2) = -x$ dove gli zeri sono le intersezioni dei grafici delle due funzioni elementari nell'intervallo indicato dal testo.

image

La funzione $3tan(x/2)$ è invertibile nell'intervallo indicato, come si vede nella figura

 

image

 

La funzione inversa allora esiste e si trova come 

$y = 3tan(x/2)$ 

$tan^{-1}(y/3) = x/2$ 

$x = 2tan^{-1}(y/3)$.

Sostituendo x con y si ottiene $y =2tan^{-1}(x/3)$.

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Risposta
SOS Matematica

4.6
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