[Risolto] Problemi funzioni goniometriche

Sia la funzione $f(x) =a\cdot tan(bx)$

La generica funzione

$f(x) = a\cdot tan(bx+\varphi)$

ha periodo $T = \pi/ |b|$

Dai dati riportati si ha $ T =\frac{\pi}{b} = 2\pi$ e quindi $b = \frac{1}{2}$

Per trovare $a$ usiamo gli altri dati forniti dal problema

$f(-\pi/4) = a\cdot tan(\frac{1}{2}\cdot \frac{-\pi}{2}) =-3$

$ a\cdot tan(\frac{-\pi}{4}) =-3$

La funzione tangente è dispari quindi $tan(-x) = -tan(x)$

$ -3 = a\cdot (-1)$  $a = 3$

Il grafico della funzione $f(x) = 3tan(x/2)$ risulta

 

La funzione $f(x) + x=0$ presenta tre zeri

Il periodo della funzione non cambia. È possibile trovare gli zeri anche in questo modo: $3tan(x/2) = -x$ dove gli zeri sono le intersezioni dei grafici delle due funzioni elementari nell'intervallo indicato dal testo.

La funzione $3tan(x/2)$ è invertibile nell'intervallo indicato, come si vede nella figura

 

 

La funzione inversa allora esiste e si trova come 

$y = 3tan(x/2)$ 

$tan^{-1}(y/3) = x/2$ 

$x = 2tan^{-1}(y/3)$.

Sostituendo x con y si ottiene $y =2tan^{-1}(x/3)$.