[Risolto] Problemi, equazioni differenziali

a. $y$"$ + 4 y = 0$

ODE lineare omogenea a coefficienti costanti del secondo ordine.

• Polinomio caratteristico. $ λ^2 +4 $
• Radici polinomio caratteristico. $ λ = \pm 2i $ radici complesse coniugate
• Soluzione generale equazione differenziale. $ y(x) = c_1 cos(2x) + c_2 sin(2x) $

per cui

• $ y'(x) = 2 c_2 cos(2x) - 2 c_1 sin(2x) $ 

Estremo relativo in P(0, 1/4) per cui $ y'(0) = 0 $ ovvero 2( c_2cos(0) - c_1 sin(0)) = 0 \; ⇒ \; c_2 = 0 $

La soluzione dell'ODE si riduce alla

$ y(x) = c_1 cos(2x) $

Imponiamo il passaggio per P(0, 1/4)

$ y(0) = c_1 cos(0) = \frac{1}{4}  \; ⇒ \; c_1 = \frac{1}{4} $

La soluzione dell'ODE con estremo relativo in P ha equazione

$ y(x) = \frac{1}{4} cos(2x) $

b. Grafico

https://www.desmos.com/calculator/3nuphqz15z

c. Rette tangenti nei punti di flesso.

i) Punti di flesso

• Derivata seconda. $ y$"$(x) = - cos(2x) $
• $ y$"$(x) = 0 \; ⇒ \; -cos(2x) = 0 \; ⇒ \; $ due soluzioni in [0, π]
• i due flessi hanno ascissa:

1. 1. $ x = \frac{\pi}{4}$
   2. $ x = \frac{3\pi}{4}$ 

ii) rette tangenti.

-) per x = π/4

$ y = y(\frac{\pi}{4}) + y'(\frac{\pi}{4}) \cdot (x - \frac{\pi}{4})$

$ y = 0 -2\cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1(x-\frac{\pi}{4})$

$ y = - \frac{1}{2} x + \frac{\pi}{8}$

=) per x = 3π/4

$ y = y(\frac{3\pi}{4}) + y'(\frac{3\pi}{4}) \cdot (x - \frac{3\pi}{4})$

$ y = 0 +2\cdot \frac{3\pi}{4} \cdot 1(x-\frac{3\pi}{4})$

$ y = \frac{1}{2} x + \frac{3\pi}{8}$

λ^2 + 4 = 0 eq. caratteristica

λ = - 2·i ∨ λ = 2·i

Integrale generale:

y = α·SIN(2·x) + β·COS(2·x)

y'=2·α·COS(2·x) - 2·β·SIN(2·x)

Si scrive il sistema.

{1/4 = α·SIN(2·0) + β·COS(2·0)  passa per [0, 1/4]

{2·α·COS(2·0) - 2·β·SIN(2·0) = 0  in tale punto y' =0

Quindi soluzione:

{β = 1/4

{α = 0

Funzione:

y = 0·SIN(2·x) + 1/4·COS(2·x)---- > y = COS(2·x)/4

Nell'intervallo: 0 ≤ x ≤ pi il grafico è:

I punti di flesso sono due:

y'=- SIN(2·x)/2---> y''=- COS(2·x)

- COS(2·x) = 0---> x = 3·pi/4 ∨ x = pi/4

Rette tangenti in 

[3/4·pi, 0]

m=- SIN(2·(3/4·pi))/2 = 1/2

y - 0 = 1/2·(x - 3/4·pi)---> y = x/2 - 3·pi/8

[pi/4, 0]

m=- SIN(2·(pi/4))/2 = - 1/2

y - 0 = - 1/2·(x - pi/4)---> y = pi/8 - x/2