Problemi di ottimizzazione

$ y(x) = \frac{x^2}{1+x^4} $   

• Dominio = ℝ
• y(x) ≥ 0;  ∀x∈ℝ
• y(x) è una funzione pari
• $\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 $

$ y'(x) = \frac{2x(1-x^4)}{(1+x^4)^2}$

Per semplicità espositiva consideriamo la funzione nell'intervallo [0, +∞). Lo possiamo fare visto che y(x) è una funzione pari. 

Non possiamo usare Weirestrass essendo ℝ si chiuso ma è non limitato, quindi non è compatto. Non sappiamo così se esistono il minimo e il massimo.

Possiamo però ricorrere al Weirestrass generalizzato. Dalla definizione di limite

Scegliamo $ε = \frac{1}{10},  \; \exists N \gt 0 \; | \;  \forall x > N \; \text{si ha} \; |f(x) - 0 | < ε $

cioè $ \exists N \gt 0 \; | \;  \forall x > N \; \text{si ha} \; f(x) < \frac{1}{10} $

Ora consideriamo il problema di ricerca del massimo e del minimo della funzione

$ y_1(x) = \frac{x^2}{1+x^4} $   in [0, N]

Questa volta Weirestrass è applicabile. Calcoliamo il minimo e il massimo assoluto di y₁(x)

• Punti singolari
  • Non ci sono punti singolari
• Punti di frontiera
  • y₁(0) = 0      
  • y₁(N) = N²/(1+N⁴)
• Punti stazionari y₁'(x) = 0  ⇒  x = 0 V x = ± 1
  • y₁(0) = 0
  • y₁(1) = 1/2 

Osservando che valgono le diseguaglianza seguenti

0 < N²/(1+N⁴) < 1/2

se ne deduce 

1. minimo y₁ = 0
2. massimo y₁ = 1/2

ma,  si cercava il minimo e il massimo di y(x) non di y₁(x).

Dalla definizione di limite e dalla positività della y(x) sappiamo che  nell'intervallo (N, +∞) valgono

0 < y < 1/10    ∀x∈(N, +∞)

Possiamo così concludere che 

1. minimo y = 0
2. massimo y = 1/2