Problemi di max e min di geometria analitica.

y + 8 = m·(x + 6)

fascio di rette per [-6, -8]

y = m·x + 6·m - 8 

m·x - y + 6·m - 8 = 0

Ciascuna di queste dista d da [2, -1] data da:

d = ABS(m·2 - (-1) + 6·m - 8)/√(m^2 + (-1)^2)

d = ABS(8·m - 7)/√(m^2 + 1)

Quindi si libera il modulo:

ABS(8·m - 7) = 8·m - 7   se m ≥ 7/8

ABS(8·m - 7) = 7 - 8·m   se m < 7/8

Quindi:

d = (8·m - 7)/√(m^2 + 1)   se m ≥ 7/8

d = (7 - 8·m)/√(m^2 + 1)    se m < 7/8

In ogni caso le derivate si annullano per:

d'=(7·m + 8)/(m^2 + 1)^(3/2) = 0----> m = - 8/7

d'= - (7·m + 8)/(m^2 + 1)^(3/2) = 0-----> m = - 8/7

per cui la retta del fascio:

y = - 8/7·x + 6·(- 8/7) - 8----> y = - 8·x/7 - 104/7

ha la massima distanza da A

N.B. la max distanza di A dalla retta del fascio si ha anche scrivendo la retta  passante per i due punti assegnati e poi scrivendo la retta ad essa perpendicolare passante per P

y + 8 = m(x + 6)

mx - y + 6m - 8 = 0

posto

d^2 = (2m + 1 + 6m - 8)^2/(m^2 + 1) = max

(8m - 7)^2/(m^2 + 1) = max

2*8(8m - 7)(m^2+1) - (8m - 7)^2* 2m >= 0

2(8m - 7) (8m^2 + 8 - m(8m - 7) ) >= 0

(8m - 7) (8 + 7m) >= 0

intervalli esterni sono di crescenza

m <= -8/7 V m >= 7/8

max rel in m = -8/7

Per verificare che é assoluto osserviamo che d^2 tende a 64 per m->+-oo

mentre d^2(-8/7) = ( -64/7 - 7)^2/(64/49 + 1) = 113 che risulta maggiore

i.  fascio rette passanti per P(-6, -8)

$ y+8 = m(x+6) \; ⇒ \; mx-y+6m-8 = 0 $ serve la forma implicita

ii.  Distanza d(m) del punto A(2, -1) da una generica retta del fascio

$ d(m) = \frac{|2m+1+6m-8|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|8m-7|}{\sqrt{m^2+1}} $

iii. Punti stazionari

$ d'(m) = \frac{56m^2+15m-56}{\sqrt[3]{(m^2+1)^2} \cdot |7-8m| $

punti stazionari d'(m) = 0

1. $m_1 = -\frac{8}{7}$
2. $m_2 = \frac{7}{8}$

Studiamo il segno della derivata prima d'(m)

___-8/7_____0______7/8_____

+++0--------------------0+++++    numeratore d'(m)

+++++++++++++++X+++++   denominatore d'(m)

+++0--------------------X+++++    segno d'(m)

..↗...=..........↘............X...↗.....     monotonia d(m)

Nel punto m = 7/8  la distanza d(m) = 0 quindi non può che essere un minimo assoluto. Tale risultato è confermato dalla griglia. La griglia ci dice che siamo in presenza di una cuspide.

Nel punto x = -8/7 siamo in presenza di un massimo relativo / assoluto. (vedi grafico)

Riporto il grafico della distanza in funzione di m, cioè d(m)

Occorre pestare attenzione poiché ho espresso d(m) come y e m con x.

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