Problemi di max e min di geometria analitica.

y = (x - 2)^2

P [x, (x - 2)^2]

area A gialla:

Α = x·(x - 2)^2 ---> Α = x^3 - 4·x^2 + 4·x

C.N. : A' =0

3·x^2 - 8·x + 4 = 0

risolvo ed ottengo:

x = 2/3 ∨ x = 2 escludo x=2 per cui A=0

Punto P

y = (2/3 - 2)^2---- >y = 16/9

[2/3,16/9] è il punto richiesto.

A''(x) = 6·x - 8

A''(2/3)=6·(2/3) - 8 = -4 <0 che conferma un massimo

$ p(X, (X-2)^2) con x∈[0, 2]

L'area A del rettangolo PHOK è data dalla

$ A(x) = x(x-2)^2 = x^3 -4x^2+4x $

Determiniamo la derivata prima

$A'(x) = 3x^2-8x+4$ 

punti stazionari

$ A'(x) = 0 \; ⇒ \; x_1 = \frac{2}{3}  \; lor \; x_2 = 2$

Analizziamo i sue casi

1. $ x_2 = 2 \; ⇒ \; A = 0$  si tratta di un punto di minimo
2. $ x_1 = \frac{2}{3}$ in questo caso P(2/3, (2/3 - 2)^2) = P(2/3, 16/9) si tratta di un punto di massimo.

Per dimostrare che trattasi di un massimo, usiamo una tecnica diversa dall'analisi dei segni delle derivate.

La funzione A(x) è una funzione continua e ha per dominio [0, 2] che è un compatto. Per il teorema di Weirestrass esistono il massimo e il minimo assoluto. dalla teoria mettiamo a confronto

1. per x = 0 si ha A(0) = 0  minimo
2. per x = 2 si ha A(2) = 0  minimo
3. per x = 2/3 si ha A(2/3) = 32/27 che è il massimo.