Problemi di max e min di geometria analitica

y = k·x^2 - k·x - 2·k

equivale a scrivere:

y = k·(x + 1)·(x - 2)

Quindi:

{y = k·(x + 1)·(x - 2)

{y = 0

[x = -1 ∧ y = 0, x = 2 ∧ y = 0]

A [-1, 0]

B [2, 0]

--------------------------------

{y = k·x^2 - k·x - 2·k

{y = x

per sostituzione si arriva a:

k·x^2 - x·(k + 1) - 2·k = 0

x = - (√(9·k^2 + 2·k + 1) - k - 1)/(2·k)

∨

x = (√(9·k^2 + 2·k + 1) + k + 1)/(2·k)

da cui

Δx = √(9·k^2 + 2·k + 1)/k

Δy = Δx = √(9·k^2 + 2·k + 1)/k

f(k) = √(Δ·x^2 + Δ·y^2)

f(k) = √(2·(√(9·k^2 + 2·k + 1)/k)^2)

f(k)= √(4/k + 2/k^2 + 18)

La lunghezza è minima se minimo è il radicando (posto che sia non negativo)

4/k + 2/k^2 + 18

derivato = 0

- 4/k^2 - 4/k^3=0

- 4·(k + 1)/k^3 = 0----> k = -1

y = (-1)·x^2 - (-1)·x - 2·(-1)

y = - x^2 + x + 2

y = k(x^2 - x - 2)

con k =/= 0

k(x^2 - x - 2) = 0

(x - 2x + x - 2) = 0

x(x-2) + (x-2) = 0

(x+1)(x - 2) = 0

x = -1 V x =2

A = (-1,0) B = (2,0)

Risolvente del sistema

kx^2 - kx - 2k = x

kx^2 - (k+1)x - 2k = 0

D = (k+1)^2 + 8k^2 = 9k^2 + 2k + 1

Lunghezza della corda intercettata

AB = sqrt(D)/|A|*sqrt(1+m^2) = sqrt (9k^2 + 2k + 1)/|k|*sqrt(2) =

= sqrt ((18k^2 + 4k + 2)/k^2) = sqrt (18 + 4/k + 2/k^2)

Cercando il minimo di d^2 = 18 + 4*1/k + 2/k^2

possiamo evitare le derivate ponendo 1/k = u

2u^2 + 4u + 18 = 2(u^2 + 2u + 1 + 8) =

= 2[8 + (1+u)^2 ]

ha il valore minimo quando 1 + u = 0 => u = -1

k = 1/u = -1

y = -x^2 + x + 2

e tale valore minimo é

AB* = sqrt(2*8) = 4