Problemi di max e min di geometria analitica

$ y = -\frac{x^2}{2} + 2x $  ⇒ La parabola ha vertice V(2,2)

a. 

i) retta OV ovvero y = x

lunghezza base OV = distanza di V(2,2) dall'origine O(0,0) = √(2²+2²) = 2√2

ii) retta BC ovvero y = x + k

punti di intersezione retta BC e parabola. Si tratta di risolvere il sistema

$ \left\{\begin{aligned} y &= -\frac{x^2}{2} + 2x \\ y &= x + k \end{aligned}  \right. $

Le due soluzioni sono:

1. $ x_c = 1-\sqrt{1-2k}  \quad ∧ \quad  y_c = 1+k -\sqrt{1-2k} $
2. $ x_b = 1+\sqrt{1-2k}  \quad ∧ \quad   y_b = 1+k +\sqrt{1-2k} $ 

La lunghezza della base BC è pari alla distanza tra B e C ovvero

$ \bar{BC} = d_{bc} = \sqrt{4(1-2k) + 4(1-2k)} = 2\sqrt{2}\sqrt{1-2k} $

Possiamo così calcolare l'Area $A_k$ 

$ A_k = \frac{(2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\sqrt{1-2k}) \cdot k } {2} = \sqrt{2}k(1 + \sqrt{1-2k})$

Questo risultato differisce da quello riportato nel testo per una √2. Se ho sbagliato, non sono riuscito a trovare l'errore.

Dal risultato segue che 

0 < k < 1/2.

b.  Massimizziamo l'area

• derivata prima. $A'(k) = \sqrt{2} \left[1+\sqrt{1-2k} -\frac{k}{\sqrt{1-2k}} \right] $
• punti stazionari. $ 1+\sqrt{1-2k} = \frac{k}{\sqrt{1-2k}} $

$\sqrt{1-2k} +1-2k = k $

$\sqrt{1-2k} = 3k-1$

$9k^2-4k = 0$   due soluzioni

1. $k = 0$ è un punto di minimo dove A(0) = 0
2. $k = \frac{4}{9}$  è il punto di massimo. 

Infatti la derivata seconda vale

A"$(k) = \frac{\sqrt{2}(3k-2)}{\sqrt{(1-2k))^3}} $

che nel punto $k = \frac{4}{9}$ risulta essere negativo, quindi un massimo.