Problemi di max e min di geometria analitica

Riportiamo il grafico parziale per illustrare i termini del problema

https://www.desmos.com/calculator/uxgt29mvtj

data l'ellisse $ \frac{x^2}{16}+ \frac{y^2}{4} = 1$ i cui vertici sono ±4 e ± 2 ricaviamo le coordinate dei punti:

1. A(-4, 0)
2. B(4,0)

ne consegue che la base maggiore del trapezio misura 8.

Gli altri due punti C e D si ottengono risolvendo il sistema 

$ \left\{\begin{aligned} \frac{x^2}{16}+ \frac{y^2}{4} &= 1 \\ y &=k \end{aligned} \right. $     con 0 ≤ k ≤ 2

Le cui soluzioni sono 

1. $ x_1 = -2\sqrt{4-k^2} $
2. $ x_2 = 2\sqrt{4-k^2} $

per cui la lunghezza della base minore è

$ x_2 - x_1 = 4\sqrt{4-k^2}$

Le coordinate dei punti C e D, in funzione di k,  sono 

• $C( 2\sqrt{4-k^2}, k)$
• $D( - 2\sqrt{4-k^2}, k)$

i) Area A del trapezio

$ A(k) = \frac{(8 + 4\sqrt{4-k^2}) \cdot k}{2}$

ii) Derivata prima

$ A'(k) = 4(1+\frac{2-k^2}{\sqrt{4-k^2}})$

iii) Punti stazionari.  $ A'(k) = 0$

$ 1+ \frac{2-k^2}{\sqrt{4-k^2}}= 0$

$  \frac{k^2 - 2}{\sqrt{4-k^2}}= 1$ 

$ k^4-3k^2 = 0 $   

$ k^2(k^2-3) = 0$     le soluzioni sono

1. k = 0 rappresenta l'area minimo  A(0) = 0
2. $ k^2 = 3 \; ⇒ \;$ 
   1. k = - √3   da scartare visto che per ipotesi deve essere k > 0 
   2. k = √3. 

Possiamo così scrivere le coordinate dei punti C e D

• C( 2, √3)
• D(-2, √3)

x^2/16+y^2/4=1

y^2=4-x^2/4

considero y=sqrt(4-x^2/4)

C(x,sqrt(4-x^2/4))

AB=8

CD= 2x

A=f(x)=(4+x)*sqrt(4-x^2/4)

ha max per x=2

da cui le soluzioni del testo.